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【题目】如图,AB是⊙O的直径,C是⊙O上一点,AD垂直于过点C的切线,垂足为D.
(1)求证:AC平分∠BAD;
(2)若AC=2 ,CD=2,求⊙O的直径.

【答案】
(1)证明:如图,连接OC,

∵DC切⊙O于C,

∴OC⊥CF,

∴∠ADC=∠OCF=90°,

∴AD∥OC,

∴∠DAC=∠OCA,

∵OA=OC,

∴∠OAC=∠OCA,

∴∠DAC=∠OAC,即AC平分∠BAD


(2)解:连接BC.

∵AB是直径,

∴∠ACB=90°=∠ADC,

∵∠DAC=∠BAC,

∴△ADC∽△ACB,

在Rt△ADC中,AC=2 ,CD=2,

∴AD=4,

∴AB=5.


【解析】(1)连接OC,根据切线的性质判断出AD∥OC,得到∠DAC=∠OCA,再根据OA=OC得到∠OAC=∠OCA,可得AC平分∠BAD.(2)连接BC,得到△ADC∽△ACB,根据相似三角形的性质即可求出AB的长.
【考点精析】根据题目的已知条件,利用角平分线的性质定理和勾股定理的概念的相关知识可以得到问题的答案,需要掌握定理1:在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等; 定理2:一个角的两边的距离相等的点,在这个角的平分线上;直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2

练习册系列答案
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(1)求证:△AEH∽△ABC;
(2)求这个正方形的边长与面积.

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(1)写出点B的坐标;
(2)过原点O的直线l从OP的位置开始,绕原点O顺时针旋转. ①如图1,当直线l顺时针旋转10°到l1的位置时,点A关于直线l1的对称点为C,则∠BOC的度数是 , 线段OC的长为
②如图2,当直线l顺时针旋转55°到l2的位置时,点A关于直线l2的对称点为D,则∠BOD的度数是
③直线l顺时针旋转n°(0<n≤90),在这个运动过程中,点A关于直线l的对称点所经过的路径长为(用含n的代数式表示).

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记函数y=x+ (a>0,x>0).由上述结论可知:当x= 时,该函数有最小值为2
直接应用
已知函数y1=x(x>0)与函数y2= (x>0),则当x=1时,y1+y2取得最小值为2.
变形应用
已知函数y1=x+1(x>﹣1)与函数y2=(x+1)2+4(x>﹣1),求 的最小值,并指出取得该最小值时相应的x的值.
实际应用
已知某汽车的一次运输成本包含以下三个部分,一是固定费用,共360元;二是燃油费,每千米1.6元;三是折旧费,它与路程的平方成正比,比例系数为0.001.设该汽车一次运输的路程为x千米,求当x为多少时,该汽车平均每千米的运输成本最低?最低是多少元?

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(1)从小刚家到该景区乘车一共用了多少时间?
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【题目】小军同学在学校组织的社会实践活动中,负责了解他所居住的小区450户具名的生活用水情况,他从中随机调查了50户居民的月均用水量(单位:t),并绘制了样本的频数分布表:

月均用水量

2≤x<3

3≤x<4

4≤x<5

5≤x<6

6≤x<7

7≤x<8

8≤x<9

频数

2

12

10

3

2

百分比

4%

24%

30%

20%

6%

4%


(1)请根据题中已有的信息补全频数分布:
(2)如果家庭月均用水量在5≤x<8范围内为中等用水量家庭,请你通过样本估计总体中的中等用水量家庭大约有多少户?
(3)记月均用水量在2≤x<3范围内的两户为a1 , a2 , 在7≤x<8范围内的3户b1、b2、b3 , 从这5户家庭中任意抽取2户,试完成下表,并求出抽取出的2户家庭来自不同范围的概率.

a1

a2

b1

b2

b3

a1

a2

b1

b2

b3

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