【题目】如图1,在平面直角坐标系中Rt△AOB≌Rt△DCA,其中B(0,4),C(2,0).连接BD.
(1)求直线BD的解析式;
(2)点E是直线AD上一点,连接BE,以BE,ED为一组邻边作BEDF,当BEDF的面积为3时,求点E的坐标;
(3)如图2,将△DAC沿x轴向左平移,平移距离大于0,记平移后的△DAC为△D′A′C′,连接D′A,D′B,当△D′AB为等腰三角形时,直接写出点D′的坐标.
【答案】(1)直线BD的表达式为:y=﹣x+4;(2)点E的坐标为(1,)或(3,);(3)点D′的坐标为(﹣6,2)或(﹣4,2).
【解析】
(1),则AO=CD,OB=AC=4,,则点,即可求解;
(2)设直线交轴于点,则点,利用,即可求解;
(3)分、、,求解即可.
解:(1),
,,
,
点,
将、坐标代入一次函数:得:,解得:,
故直线的表达式为:,
同理直线的表达式为:;
(2)①当点在线段上时,
设直线交轴于点,则点,
,
即:,
解得:,即点,
②当点在线段外时,
同理可得:点,
故点的坐标为或;
(3)设图象向左平移个单位,则点,
则:,,,
当时,即:,
解得:,刚好是在线段上,所以形成不了三角形,故舍去;
当时,同理可得:,
当时,同理可得:,
故:点的坐标为或.
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【题目】如图,分别以Rt△ABC的斜边AB、直角边AC为边向外作等边△ABD和△ACE,F为AB中点,连接DF、EF、DE、EF与AC交于点O,DE与交于点G,连接OG,若,下列结论:①;②;③EF⊥AC;④.其中正确的结论的序号是___________.
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【题目】综合与实践
问题情境
综合与实践课上,老师让同学们以“折纸”为主题开展数学活动.如图1,有一张长为4,宽为3的矩形纸片().
操作发现
(1)快乐小组先将图1中的矩形纸片沿直线折叠,使得点落在点处,得到图2,他们发现,请你证明这个结论;
(2)创新小组将图2中的矩形纸片展开后继续折叠,使得点落在对角线上的点处,折痕为,得到图3,则折痕__________;
实践探究
(3)前进小组在创新小组的操作基础上,将图3中的纸片展开,再将矩形纸片沿直线折叠,使得点落在对角线上的点处,然后将纸片展平.如图4所示,折痕交于点,交于点,试判断的形状并证明你的结论.
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【题目】锐角△ABC 中,BC=6,BC 边上的高 AD=4,两动点 M,N 分别在边 AB,AC 上滑动(M 不与 A、B 重合),且 MN∥BC,以 MN 为边向下作正方形 MPQN,设其边长为 x,正方形 MPQN 与△ABC 公共部分的面积为 y(y>0).
(1)MN,BC具备什么条件,△AMN∽△ABC;
(2)当 x为何值时,PQ 恰好落在边 BC 上(如图 1);
(3)当 PQ 在△ABC 外部时(如图 2),求 y 关于 x 的函数关系式(注明 x 的取值范围)并求出 x 为何值时 y 最大,最大值是多少?
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,过点C(0,6)的直线AC与直线OA相交于点A(4,2),动点M在线段OA和射线AC上运动,试解决下列问题:
(1)求直线AC的解析式;
(2)求△OAC的面积;
(3)是否存在点M、使△OMC的面积是△OAC的面积的?若存在,求出此时点M的坐标;若不存在,请说明理由?
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【题目】甲班56人,其中身高在160厘米以上的男同学10人,身高在160厘米以上的女同学3人,乙班80人,其中身高在160厘米以上的男同学20人,身高在160厘米以上的女同学8人.如果想在两个班的160厘米以上的女生中抽出一个作为旗手,在哪个班成功的机会大?为什么?
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【题目】如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,AB的垂直平分线分别交AB和AC于点D,E.
(1)求证:AE=2CE;
(2)连接CD,请判断△BCD的形状,并说明理由.
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