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【题目】锐角△ABC 中,BC=6,BC 边上的高 AD=4,两动点 M,N 分别在边 AB,AC 上滑动(M 不与 A、B 重合),且 MN∥BC,以 MN 为边向下作正方形 MPQN,设其边长为 x,正方形 MPQN 与△ABC 公共部分的面积为 y(y>0).

(1)MN,BC具备什么条件,△AMN∽△ABC;

(2)x为何值时,PQ 恰好落在边 BC 上(如图 1);

(3)PQ 在△ABC 外部时(如图 2),求 y 关于 x 的函数关系式注明 x 的取值范围)并求出 x 为何值时 y 最大,最大值是多少?

【答案】(1)MN∥BC;(2)x=;(3)当 x=3 时,y 有最大值,最大值是 6.

【解析】

(1)根据 MNBC,得AMN∽△ABC;(2)因为正方形的位置在变化,但是AMN∽△ABC 没有改变,利用相似三角形对应边上高的比等于相似比,得出等量关系,代入解析式;(3)用含 x 的式子表示矩形 MEFN 边长,从而求出面积的表达式.

(1)MNBC,

∴△AMN∽△ABC;

(2)当 PQ 恰好落在边 BC上时,

MNBC,∴△AMN∽△ABC.

,x=

(3)设 BC 分别交 MP,NQ E,F,则四边形 MEFN 为矩形.

ME=NF=h,AD MN G(如图 2)GD=NF=h,AG=4﹣h.

MNBC,

∴△AMN∽△ABC.

,即

h=﹣x+4.

y=MNNF=x(﹣x+4)=-x+4x(2.4<x<6),

配方得:y=﹣(x﹣3)+6.

∴当 x=3 时,y 有最大值,最大值是 6.

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3

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5

6

出现次数

8

10

7

9

16

10

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