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【题目】如图,抛物线y=﹣x2+bx+cx轴交于A(﹣1,0),B(5,0)两点,直线y=﹣x+3y轴交于点C,与x轴交于点D.点P是直线CD上方的抛物线上一动点,过点PPF⊥x轴于点F,交直线CD于点E,设点P的横坐标为m.

(1)求抛物线的解析式;

(2)PE的长最大时m的值.

(3)Q是平面直角坐标系内一点,在(2)的情况下,以PQCD为顶点的四边形是平行四边形是否存在?若存在,直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】(1)y=﹣x2+4x+5;(2)m=时,PE最长;(3)Q的坐标为()、(﹣)或(,﹣).

【解析】

(1)由点AB的坐标利用待定系数法可求出抛物线的解析式

(2)利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点CD的坐标进而可得出0<m<4,由点P的横坐标为m可得出点PE的坐标进而可得出PE=﹣m2m+2,再利用二次函数的性质即可解决最值问题

(3)分PE为对角线、PC为对角线、CD为对角线三种情况考虑由平行四边形的性质(对角线互相平分)结合点PCD的坐标可求出点Q的坐标此题得解

1)将A(﹣1,0),B(5,0)代入y=﹣x2+bx+c

解得∴抛物线的解析式为y=﹣x2+4x+5.

(2)∵直线yx+3y轴交于点Cx轴交于点D∴点C的坐标为(0,3),D的坐标为(4,0),∴0<m<4.

∵点P的横坐标为m∴点P的坐标为(m,﹣m2+4m+5),E的坐标为(mm+3),∴PE=﹣m2+4m+5﹣(m+3)=﹣m2m+2=﹣(m2

∵﹣1<0,04,∴当mPE最长

(3)由(2)可知P的坐标为().

PQCD为顶点的四边形是平行四边形分三种情况(如图所示)

①以PD为对角线

∵点P的坐标为(),D的坐标为(4,0),C的坐标为(0,3),∴点Q的坐标为(4﹣0,0﹣3),即();

②以PC为对角线

∵点P的坐标为(),D的坐标为(4,0),C的坐标为(0,3),∴点Q的坐标为(0﹣4,3﹣0),即();

③以CD为对角线

∵点P的坐标为(),D的坐标为(4,0),C的坐标为(0,3),∴点Q的坐标为(0+4,3+0),即().

综上所述在(2)的情况下存在以PQCD为顶点的四边形是平行四边形Q的坐标为()、()或().

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2)创新小组将图2中的矩形纸片展开后继续折叠,使得点落在对角线上的点处,折痕为,得到图3,则折痕__________

实践探究

3)前进小组在创新小组的操作基础上,将图3中的纸片展开,再将矩形纸片沿直线折叠,使得点落在对角线上的点处,然后将纸片展平.如图4所示,折痕于点,交于点,试判断的形状并证明你的结论.

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(1)求抛物线的解析式;

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