【题目】如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A(﹣1,0),B(5,0)两点,直线y=﹣x+3与y轴交于点C,与x轴交于点D.点P是直线CD上方的抛物线上一动点,过点P作PF⊥x轴于点F,交直线CD于点E,设点P的横坐标为m.
(1)求抛物线的解析式;
(2)求PE的长最大时m的值.
(3)Q是平面直角坐标系内一点,在(2)的情况下,以PQCD为顶点的四边形是平行四边形是否存在?若存在,直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)y=﹣x2+4x+5;(2)当m=时,PE最长;(3)点Q的坐标为(,)、(﹣,)或(,﹣).
【解析】
(1)由点A,B的坐标,利用待定系数法可求出抛物线的解析式;
(2)利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点C,D的坐标,进而可得出0<m<4,由点P的横坐标为m可得出点P,E的坐标,进而可得出PE=﹣m2m+2,再利用二次函数的性质即可解决最值问题;
(3)分PE为对角线、PC为对角线、CD为对角线三种情况考虑,由平行四边形的性质(对角线互相平分)结合点P,C,D的坐标可求出点Q的坐标,此题得解.
(1)将A(﹣1,0),B(5,0)代入y=﹣x2+bx+c,得:
,解得:,∴抛物线的解析式为y=﹣x2+4x+5.
(2)∵直线yx+3与y轴交于点C,与x轴交于点D,∴点C的坐标为(0,3),点D的坐标为(4,0),∴0<m<4.
∵点P的横坐标为m,∴点P的坐标为(m,﹣m2+4m+5),点E的坐标为(m,m+3),∴PE=﹣m2+4m+5﹣(m+3)=﹣m2m+2=﹣(m)2.
∵﹣1<0,04,∴当m时,PE最长.
(3)由(2)可知,点P的坐标为().
以PQCD为顶点的四边形是平行四边形分三种情况(如图所示):
①以PD为对角线.
∵点P的坐标为(),点D的坐标为(4,0),点C的坐标为(0,3),∴点Q的坐标为(4﹣0,0﹣3),即();
②以PC为对角线.
∵点P的坐标为(),点D的坐标为(4,0),点C的坐标为(0,3),∴点Q的坐标为(0﹣4,3﹣0),即();
③以CD为对角线.
∵点P的坐标为(),点D的坐标为(4,0),点C的坐标为(0,3),∴点Q的坐标为(0+4,3+0),即().
综上所述:在(2)的情况下,存在以PQCD为顶点的四边形是平行四边形,点Q的坐标为()、()或().
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【题目】综合与实践
问题情境
综合与实践课上,老师让同学们以“折纸”为主题开展数学活动.如图1,有一张长为4,宽为3的矩形纸片().
操作发现
(1)快乐小组先将图1中的矩形纸片沿直线折叠,使得点落在点处,得到图2,他们发现,请你证明这个结论;
(2)创新小组将图2中的矩形纸片展开后继续折叠,使得点落在对角线上的点处,折痕为,得到图3,则折痕__________;
实践探究
(3)前进小组在创新小组的操作基础上,将图3中的纸片展开,再将矩形纸片沿直线折叠,使得点落在对角线上的点处,然后将纸片展平.如图4所示,折痕交于点,交于点,试判断的形状并证明你的结论.
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【题目】甲班56人,其中身高在160厘米以上的男同学10人,身高在160厘米以上的女同学3人,乙班80人,其中身高在160厘米以上的男同学20人,身高在160厘米以上的女同学8人.如果想在两个班的160厘米以上的女生中抽出一个作为旗手,在哪个班成功的机会大?为什么?
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【题目】如图,抛物线y=ax2+3x+c经过A(﹣1,0),B(4,0)两点,与y轴交于点C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点P在第一象限的抛物线上,且点P的横坐标为t,过点P向x轴作垂线交直线BC于点Q,设线段PQ的长为m,求m与t之间的函数关系式,并求出m的最大值;
(3)在x轴上是否存在点E,使以点B,C,E为顶点的三角形为等腰三角形?如果存在,直接写出E点坐标;如果不存在,请说明理由.
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【题目】已知抛物线L:y=x2+bx﹣2与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左侧),并与y轴相交于点C.且点A的坐标是(﹣1,0).
(1)求该抛物线的函数表达式及顶点D的坐标;
(2)判断△ABC的形状,并求出△ABC的面积;
(3)将抛物线向左或向右平移,得到抛物线L′,L′与x轴相交于A'、B′两点(点A′在点B′的左侧),并与y轴相交于点C′,要使△A'B′C′和△ABC的面积相等,求所有满足条件的抛物线的函数表达式.
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【题目】如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,AB的垂直平分线分别交AB和AC于点D,E.
(1)求证:AE=2CE;
(2)连接CD,请判断△BCD的形状,并说明理由.
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【题目】如图,四边形ABCD是边长为1的正方形,E,F为BD所在直线上的两点.若AE= ,∠EAF=135°,则以下结论正确的是( )
A. DE=1 B. tan∠AFO= C. AF= D. 四边形AFCE的面积为
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【题目】已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,那么下列判断不正确的是( )
A. ac<0 B. a﹣b+c>0 C. b=﹣4a D. a+b+c>0
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