Question

如图1，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上两点，弧AC=弧CD，过点C作⊙O的切线，分别交BD、BA延长线于点E、P．
（1）若AD=6，BC=5，求BD的长．
（2）如图2，若AD、BC交于点H，AH=

5

2

，DH=

3

2

，求tan∠PBC的值．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）利用连接OC，交AD于点F，连接AC，利用切线的性质得出OC⊥PE，进而利用已知得出△BAC∽△BCE，再由勾股定理求出BD；
（2）利用切线的性质定理以及圆周角定理得出∠PBC=∠CAH，再利用射影定理得出CK ²=AK×KH求出CK，进而得出tan∠PBC的值即可．

解答：解：（1）连接OC，交AD于点F，连接AC，
∵PE是⊙O的切线，
∴OC⊥PE，
∵弧AC=弧CD，
∴OC⊥AD，
∴AF=DF，
∵OA=OB，
∴OC∥BE，
∴PE⊥BE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴四边形CEDF是矩形，
∴CE=DF=

1

2

AD=

1

2

×6=3，
∵BC=5，
∴BE=

BC2-CE2

=4，
∵弧AC=弧CD，
∴∠ABC=∠CBE，
∵∠ACB=∠E=90°，
∴△BAC∽△BCE，
∴

BC

BE

=

BA

BC

，
∴AB=

BC2

BE

=

25

4

，
在Rt△ABD中，BD=

AB2-AD2

=

7

4

；

（2）连接AC，OC交AD于点K，
∵

AC

=

CD

，
∴∠PBC=∠CAH，
∴tan∠PBA=tan∠CAH，
由题意可得出：CK⊥AH，AC⊥CH，
∵O为AB中点，OC∥BD，
∴AK=DK=

1

2

AD，
KH=AH-2=

1

2

，
∵∠CAK=∠HCK，
∴tan∠CAK=tan∠HCK，
∵∠ACH=90°，CK⊥AH，
∴CK ²=AK×KH=2×

1

2

=1，
∴CK=1，
故tan∠PBC=tan∠CAH=

CK

AK

=

1

2

．

点评：此题主要考查了锐角三角函数关系以及切线的性质定理和相似三角形的判定与性质等知识，根据已知得出CK ²=AK×KH是解题关键．