Question

如图，正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，DE=CF，AF与BE相交于O，DG⊥AF，垂足为G．
（1）求证：AF⊥BE；
（2）试探究线段AO、BO、GO的长度之间的数量关系．

Answer 1

考点：正方形的性质,全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）根据正方形的性质可得AB=AD=CD，∠BAD=∠ADC=90°，然后求出AE=DF，再利用“边角边”证明△ABE和△DAF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠1=∠2，再求出∠1+∠3=90°，然后得到∠AOB=90°，根据垂线的定义即可得证；
（2）利用“角角边”证明△ABO和△DAG全等，根据全等三角形对应边相等可得AG=BO，即可得解．

解答：（1）证明：在正方形ABCD中，AB=AD=CD，∠BAD=∠ADC=90°，
∵DE=CF，
∴AD-DE=CD-CF，
即AE=DF，
∵在△ABE和△DAF中，

AB=AD ∠BAD=∠ADC AE=DF

，
∴△ABE≌△DAF（SAS），
∴∠1=∠2，
∵∠2+∠3=∠BAD=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∴∠AOB=90°，
∴AF⊥BE；

（2）解：∵DG⊥AF，
∴∠DGA=90°，
∴∠AOB=∠DGA=90°，
∵在△ABO和△DAG中，

∠1=∠2 ∠AOB=∠DGA AB=AD

，
∴△ABO≌△DAG（AAS），
∴AG=BO，
∴AO+GO=BO．

点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，比较简单，熟练掌握正方形的性质，确定出三角形全等的条件是解题的关键．