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【题目】如图,已知ABC,AC<AB.

(1) 用直尺和圆规作出一条过点A的直线l,使得点C关于直线l的对称点落在边AB(不写作法,保留作图痕迹);

(2) 设直线l与边BC的交点为D,且∠C=2B,请你通过观察或测量,猜想线段AB、AC、CD之间的数量关系,并说明理由.

【答案】(1)作图见解析;(2)AB=AC+CD.

【解析】试题分析:(1)先作∠BAC的平分线l,再过点C作CF⊥l交AB于F,则可得到点C和F点关于l对称,所以l为所作;

(2)连结DF,如图,利用等腰三角形的判定方法得到AF=AC,则AD垂直平分CF,所以DF=DC,则∠DCF=∠DFC,再利用三角形外角性质得∠BDF=2∠DCF,接着证明∠B=2∠BCF,于是得到∠B=∠BDF,则FB=FD=CD,则易得AB=AF+FB=AC+CD.

试题解析:(1)如图,直线l为所作;

(2)AB=AC+CD.理由如下:

连结DF,如图,

∵AD平分∠BAC,AD⊥CF,

∴AF=AC,

∴AD垂直平分CF,

∴DF=DC,

∴∠DCF=∠DFC,

∴∠BDF=∠DCF+∠DFC=2∠DCF,

∵∠AFC=∠ACF,

∵∠AFC=∠B+∠BCF,

∴∠ACF=∠B+∠BCF,

∵∠ACB=2∠B,

∴2∠B-∠BCF=∠B+∠BCF,

∴∠B=2∠BCF,

∴∠B=∠BDF,

∴FB=FD,

∴FB=CD,

∴AB=AF+FB=AC+CD.

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