Question

17．【感知】如图1，AD平分∠BAC，∠B+∠C=180°，∠B=90°，求证：DB=DC．
【探究】如图2，AD平分∠BAC，∠B+∠C=180°，∠B＜90°，求证：DB=DC．
【应用】如图3，四边形ABCD中，∠ABD+∠ACD=180°，DB=DC，求证：AD平分∠BAC．

Answer 1

分析 【感知】根据角平分线的性质，欲证明DB=DC，只要证明DC⊥AC，DB⊥AB即可；
【探究】作DN⊥AC于N，DM⊥AB于M，欲证明DB=DC，只要证明△DNC≌△BMD即可；
【应用】作DN⊥AC于N，DM⊥AB于M，证得△DNC≌△BMD，得到DM=DN，根据角平分线的判定即的结论．

解答 证明：【感知】∵∠B+∠C=180°，∠B=90°，
∴DC⊥AC，DB⊥AB，
∵AD平分∠BAC，
∴DB=DC；
【探究】过点D作DN⊥AC于N，DM⊥AB于M，
∵AD平分∠BAC，DN⊥AC，DM⊥AB，
∴DM=DN，
∵∠B+∠C=180°，∠NCD+∠ACD=180°，
∴∠B=∠NCD，
在△DNC和△BMD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠NCD}\\{∠DNC=∠DMB=90°}\\{DM=DN}\end{array}\right.$，
∴△DNC≌△BMD，
∴DC=DB；
【应用】过点D作DN⊥AC于N，DM⊥AB于M，
∵∠ABD+∠ACD=180°，∠NCD+∠ACD=180°，
∴∠ABD=∠NCD，
在△DNC和△BMD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABD=∠NCD}\\{∠DNC=∠DMB=90°}\\{DB=DC}\end{array}\right.$，
∴△DNC≌△BMD，
∴DM=DN，
∵DN⊥AC，DM⊥AB，
∴AD平分∠BAC．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形，属于中考常考题型．