Question

【题目】(1)问题发现

如图1,△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∠ACB=90°,B,C,D在一条直线上.

填空:线段AD,BE之间的关系为 .

(2)拓展探究

如图2,△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,请判断AD,BE的关系,并说明理由.

(3)解决问题

如图3,线段PA=3,点B是线段PA外一点,PB=5,连接AB,将AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AC,随着点B的位置的变化,直接写出PC的范围.

Answer 1

【答案】(1) AD=BE，AD⊥BE．(2) AD=BE，AD⊥BE．(3) 5-3≤PC≤5+3．

【解析】分析：（1）可先证明△ACE≌△BCD，再根据全等三角形的对应边相等可证得AE=BD；延长BD交AE于点F，由（1）可得到∠DBC=∠EAD，再结合条件可得到∠ADF+∠FAD=90°，可得到AE⊥BD；

（2）证明方法类似（1）；

（3）如图3中，作AE⊥AP，使得AE=PA，则易证△APE≌△ACP，可得PC=BE，求出BE的范围即可解决问题；

详解：（1）结论：AD=BE，AD⊥BE．

理由：如图1中，

∵△ACB与△DCE均为等腰直角三角形，

∴AC=BC，CE=CD，

∠ACB=∠ACD=90°，

在Rt△ACD和Rt△BCE中

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴AD=BE，∠EBC=∠CAD

延长BE交AD于点F，

∵BC⊥AD，

∴∠EBC+∠CEB=90°，

∵∠CEB=AEF，

∴∠EAD+∠AEF=90°，

∴∠AFE=90°，即AD⊥BE．

∴AD=BE，AD⊥BE．

故答案为AD=BE，AD⊥BE．

（2）结论：AD=BE，AD⊥BE．

理由：如图2中，设AD交BE于H，AD交BC于O．

∵△ACB与△DCE均为等腰直角三角形，

∴AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠ECD=90°，

∴ACD=∠BCE，

在Rt△ACD和Rt△BCE中
，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴AD=BE，∠CAD=∠CBE，

∵∠CAO+∠AOC=90°，∠AOC=∠BOH，

∴∠BOH+∠OBH=90°，

∴∠OHB=90°，

∴AD⊥BE，

∴AD=BE，AD⊥BE．

（3）如图3中，作AE⊥AP，使得AE=PA，则易证△APE≌△ACP，

∴PC=BE，

图3-1中，当P、E、B共线时，BE最小，最小值=PB-PE=5-3，

图3-2中，当P、E、B共线时，BE最大，最大值=PB+PE=5+3，

∴5-3≤BE≤5+3，

即5-3≤PC≤5+3．