Question

【题目】如图，在ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E，点F在BD上，且 BE＝DF 连接AE并延长，交BC于点G，连接CF并延长，交AD于点H．

(1)求证：△AOE≌△COF；

(2)若AC平分∠HAG，求证：四边形AGCH是菱形．

Answer 1

【答案】(1)见解析；(2) 见解析.

【解析】

（1）先由四边形ABCD是平行四边形，得出OA=OC，OB=OD，则OE=OF，又∵∠AOE=∠COF，利用SAS即可证明△AOE≌△COF；
（2）先证明四边形AGCH是平行四边形，再证明CG=AG，即可证明四边形AGCH是菱形．

证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA＝OC，OB＝OD．

∵BE＝DF，∴OE＝OF.

在△AOE与△COF中，

∴△AOE≌△COF(SAS)．

(2)由(1)得△AOE≌△COF，

∴∠OAE＝∠OCF，∴AE∥CF.

又∵AH∥CG，∴四边形AGCH是平行四边形．

∵AC平分∠HAG，∴∠HAC＝∠GAC．

∵AH∥CG，∴∠HAC＝∠GCA，

∴∠GAC＝∠GCA，∴CG＝AG，

∴□AGCH是菱形．