Question

9．已知：直线x-2y=-k+6和x+3y=4k+1，若它们的交点在第四象限内．
（1）求k的取值范围；
（2）若k为非负整数，求直线x-2y=-k+6和x+3y=4k+1分别与y轴的交点，及它们的交点所围成的三角形的面积．

Answer 1

分析 （1）根据已知直线x-2y=-k+6和直线x+3y=4k+1，解出交点坐标，根据交点在第四象限即可解出k的范围，
（2）再根据k为非负整数确定k的值后即可得出答案．

解答 解：（1）由题可得：$\left\{\begin{array}{l}{x-2y=-k+6}\\{x+3y=4k+1}\end{array}\right.$，解之得：$\left\{\begin{array}{l}{x=k+4}\\{y=k-1}\end{array}\right.$，
∴两直线的交点坐标为（k+4，k-1），
又∵交点在第四象限，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k+4＞0}\\{k-1＜0}\end{array}\right.$，
解之得：-4＜k＜1；
（2）由于k为非负整数且-4＜k＜1，
∴k=0，
∴直线x-2y=6和直线x+3y=1，
解$\left\{\begin{array}{l}{x-2y=6}\\{x+3y=1}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=-1}\end{array}\right.$，
∴交点坐标为（4，-1），
∵直线x-2y=6与y轴的交点为（0，-3），直线x+3y=1与y轴的交点为（0，-$\frac{1}{3}$），
∴围成的三角形的面积=$\frac{1}{2}×$（3-$\frac{1}{3}$）×1=$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查了一次函数与一元一次不等式及解二元一次方程组，属于基础题，关键是先求出交点确定k的坐标，再根据已知条件求解．