Question

8．方程x²+（t+5）x-$\frac{3}{4}$t-7=0有两整数根，且t为正整数，则t=4．

Answer 1

分析 方程有两整数根，说明判别式是完全平方数，根据完全平方数的性质将t求出．

解答 解：△=$（t+5）^{2}-4（-\frac{3}{4}t-7）$=t²+13t+53，
∵方程有两整数根，
∴△为完全平方数，
令t²+13t+53=m²，m为正整数，
∴4t²+52t+212=4m²，
∴（2t+13a）²+43=（2m）²，
∴（2m）²-（2t+13）²=43，
（2m-2t-13）（2m+2t+13）=43=1×43，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2m-2t-13=1}\\{2m+2t+13=43}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=11}\\{t=4}\end{array}\right.$，
故答案为4．

点评 本题主要考查了一元二次方程的整数根问题，有一定难度．一元二次方程要有整数根，判别式必须为完全平方数，这一点是解答本题的关键．知道判别式为完全平方数之后，令这个判别式等式一个正整数的平方，将这个等式变形成平方差等于一个常数的形式，然后将常数分解成两个因数之积，左右对照，列出二元一次方程组，解出未知数，这是处理一元二次方程整数根问题的重要手段，要引起重视．