Question

3．如图．在矩形ABCD中，AB=3．BC=6，DE平分∠ADC交BC于E，点P是射线BC上的动点．
（1）当∠ADP=30°，求BP的长；
（2）以点P为圆心，PD为半径的⊙P随点P的运动而变化，当⊙P与四边形ABPD的边（或边所在的直线）相切时，求BP的长．

Answer 1

分析 （1）根据矩形的性质得到CD=AB=3，AD∥BC，由平行线的性质得到∠DPC=∠ADP，由∠ADP=30°，得到∠DPC=30°，根据三角函数的定义即可得到结论；
（2）由题意知，若⊙P与四边形ABPD的边（或边所在的直线）相切时，有以下两种情况：①如图1，当⊙P与AD相切于点D时，有PD⊥AD，即点P与点C重合，根据切线的性质得到PB=BC=6；②当⊙P与AB相切时，根据切线的性质得到∠ABO=90°，然后由勾股定理即可得到结论．

解答 解：（1）在矩形ABCD中，AB=3．BC=6，
∴CD=AB=3，AD∥BC，
∴∠DPC=∠ADP，
∵∠ADP=30°，
∴∠DPC=30°，
∴PC=$\frac{CD}{tan30°}$=$\frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{3}}$=3$\sqrt{3}$，
∴PB=BC-PC=6-3$\sqrt{3}$；

（2）由题意知，若⊙P与四边形ABPD的边（或边所在的直线）相切时，有以下两种情况：
①如图1，当⊙P与AD相切于点D时，有PD⊥AD，即点P与点C重合，此时PB=BC=6；

②当⊙P与AB相切时，由题意，得∠ABO=90°，
∴点B为切点，如图2，

PB²=PD²=PC²+CD²=（6-PB）²+3³，
解得：PB=$\frac{15}{4}$，
综上所述：当⊙P与四边形ABPD的边（或边所在的直线）相切时，BP的长为6或$\frac{15}{4}$．

点评 此题考查了切线的性质，坐标与图形性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，锐角三角函数定义，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．