Question

【题目】如图，在矩形中，，点从点出发，沿向点匀速运动，速度为每秒1个单位，过点作，交对角线于点.点从点出发，沿对角线向点匀速运动，速度为每秒1个单位. 、两点同时出发，设它们的运动时间为秒().

(1)当时，求出的值;

(2)连接，当时，求出的值;

(3)试探究:当为何值时，是等腰三角形?

Answer 1

【答案】（1）t=；（2）t=；（3）满足条件的时间t为或或或．

【解析】（1）判断出△PBQ∽△DBC得出比例式建立方程即可得出结论；
（2）先判断出△BPM∽△BCD得出比例式求出PM=6-t，BM=10-t，再判断出△ADM∽△PBQ，得出比例式建立方程即可得出结论；
（3）分两种情况利用等腰三角形的性质即可得出结论．

（1）在矩形ABCD中，AB=CD=6，BC=8，∴∠C=90°，BD=10，

根据题意得，CP=BQ=t，BP=8﹣t，∵PQ⊥BD，∴∠BQP=90°，∴∠BQP=∠C，

∵∠PBQ=∠DBC=45°，∴△PBQ∽△DBC，∴，∴，∴t=；

（2）∵PM⊥BC，∠C=90°，∴PM∥CD，∴△BPM∽△BCD，∴，

∴，∴PM=6﹣t，BM=10﹣t，∴DM=t，

∵PQ∥AM，∴∠AMQ=∠MQP，∴∠AMD=∠PQB，

∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠ADM=∠PBQ，∴△ADM∽△PBQ，

∴，∴，∴t=；

（3）

①当点Q在线段BM上时，

Ⅰ、若PM=MQ，∴6﹣t=10﹣t，∴t=，

Ⅱ、若PM=PQ时，如图1，作PN⊥MQ于N，

∴∠PNM=90°，MN=MQ=（10﹣t）=5﹣t，∴∠PNM=∠C，

∵PM∥CD，∴∠PMQ=∠BDC，∴△PMN∽△BDC，

∴，∴，∴t=，

Ⅲ、若MQ=PQ时，如备用图1，作QE⊥PM于E，∴QE∥BP，ME=PM，

∴△QEM∽△BPM，∴，∴MQ=BQ，∴10﹣t=t，∴t=，

②当点M在线段BQ上时，如备用图2，∠PMQ是钝角，∴只可能PM=QM，

∴6﹣t=t﹣（10﹣t），∴t=，即：满足条件的时间t为或或或．