Question

6．探究：如图①，∠AOB=90°，点P是∠AOB的平分线上一点，以点P为顶点作∠MPN=90°，分别交OA，OB于点M，N．求证：PM=PN．
应用：如图②，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC，∠ABC的外角平分线交于点P，过点P分别作PE⊥AC，PF⊥BC，分别交CA，CB的延长线于点E，F．若BC=3，AC=4，则AE+BF的长度是5．

Answer 1

分析 探究：过P作PE⊥OA，PF⊥OB，由OC为∠AOB的平分线，利用角平分线定理得到PE=PF，利用同角的余角相等得到一对角相等，利用ASA得到△PME与△PNF全等，利用全等三角形的对应边相等即可得证；
应用：如图②，过点P作PG⊥AB，垂足点G．证明Rt△PEA≌Rt△PEA，Rt△PGB≌Rt△PFB，所以AE=AG，BF=BG，求出AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=5，所以AE+BF=5．

解答 解：探究：如图①，

过P作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，
∵OC是∠AOB的平分线，
∴PE=PF，∠PEM=∠PFN=90°，
∵∠MPE+∠MPF=90°，∠NPF+∠MPF=90°，
∴∠MPE=∠NPF，
在△PME和△PNF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PEM=∠PFN=90°}\\{∠MPE=∠NPF}\\{PE=PF}\end{array}\right.$，
∴△PME≌△PNF（ASA），
∴PM=PN．
应用：如图②，过点P作PG⊥AB，垂足点G．

∵PE⊥AC，PF⊥BC，且∠BAC，∠ABC的外角平分线交于点P，
∴PE=PG，PF=PG，
∵PG=PG，
在Rt△PEA和Rt△PEA中，
$\left\{\begin{array}{l}{PE=PG}\\{PA=PA}\end{array}\right.$
∴Rt△PEA≌Rt△PEA，
在Rt△PGB和Rt△PFB中，
$\left\{\begin{array}{l}{PG=PF}\\{PB=PB}\end{array}\right.$
∴Rt△PGB≌Rt△PFB，
∴AE=AG，BF=BG，
∵∠ACB=90°，且BC=3，AC=4，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=5，
∴AE+BF=5．
故答案为：5．

点评 此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．