Question

18．在△ABC中，AC=BC，∠ACB=120°，点D在AB边上，∠EDF=60°．

（1）当点D为AB中点时，且∠EDF的两边分别交线段AC、BC于点E、F，连接CD，过点D作DG⊥AC于点G，DH⊥BC于点H，如图（1），求证：DE=DF；
（2）过C作BC的垂线交AB恰好为D，若∠EDF的两边分别交线段AC、BC于点E，F，如图（2），求$\frac{DE}{DF}$的值．

Answer 1

分析 （1）由垂直的定义得到∠DGE=∠DHF=90°根据等腰三角形的性质得到CD平分∠ACB，DG=DH，等量代换得到∠DFH=∠DEG，推出△DGE≌△DHF，根据全等三角形的性质得到DE=DF；
（2）由垂直的定义得到∠DCB=90°，由等腰三角形的性质得到∠ACD=∠A=∠B=30°，于是得到BD=2CD，推出∠BDC=60°，于是得到∠BDF+∠CDF=60°等量代换得到∠CDE=∠BDF，太迟△CDE∽△BDF，根据相似三角形的性质即可得到结论．

解答 （1）证明：∵DG⊥AC，DH⊥BC，
∴∠DGE=∠DHF=90°，
∵AC=BC，点D为AB中点，
∴CD平分∠ACB，
∴DG=DH，
∵∠ACB=120°，∠EDF=60°，
∴∠DEC+∠DFH=180°，
∵∠DEC+∠DEG=180°，
∴∠DFH=∠DEG，
在△DGE与△DHF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DGE=∠DHF}\\{∠DFH=∠DEG}\\{DG=DH}\end{array}\right.$，
∴△DGE≌△DHF，
∴DE=DF，

（2）∵CD⊥BC，
∴∠DCB=90°，
∵∠ACB=120°，AC=BC，
∴∠ACD=∠A=∠B=30°，
∴BD=2CD，∴∠BDC=60°，
∴∠BDF+∠CDF=60°，
∵∠EDF=60°，
∴∠CDF+CDE=60°，
∴∠CDE=∠BDF，
∴△CDE∽△BDF，
∴$\frac{DE}{DF}=\frac{CD}{BD}=\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，垂直的定义，角平分线的定义，证得△CDE∽△BDF是解题的关键．