Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点M，N分别为AD，AC上的动点（不含端点），AN＝DM，连结点M与矩形的一个顶点，以该线段为直径作⊙O，当点N和矩形的另一个顶点也在⊙O上时，线段DM的长为_____．

Answer 1

【答案】或．

【解析】

分两种情形：如图1中，当点N在CM为直径的圆上时，如图2中，当点N在BM为直径的圆上时，分别利用相似三角形的性质构建方程解决问题即可．

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ADC=90°，AB=CD=6，BC=AD=8，

∴AC==10，

如图1中，当点N在CM为直径的圆上时，设DM=AN=x．

∵CM为直径，

∴∠CNM=90°，

∵∠MAN=∠CAD， ∠ANM=∠ADC=90°，

∴△ANM∽△ADC，

∴，

∴，

解得x=，

∴DM=；

如图2中，当点N在BM为直径的圆上时，设BC与圆的交点为H，连接MH，NH．设DM=AN=y．

∵BM是直径，

∴∠MHB=90°，

∴∠MHC=∠D=∠DCH=90°，

∴四边形CDMH是矩形，

∴CH=DM=y，

∵∠NCH=∠BCA，∠CHN=∠CAB，

∴△CNH∽△CBA，

∴，

∴，

解得y=，

∴DM=，

故答案为：或．