Question

【题目】（问题呈现）阿基米德折弦定理：

如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，点M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD＝DB+BA．下面是运用“截长法”证明CD＝DB+BA的部分证明过程．

证明：如图2，在CD上截取CG＝AB，连接MA、MB、MC和MG．

∵M是的中点，

∴MA＝MC①

又∵∠A＝∠C②

∴△MAB≌△MCG③

∴MB＝MG

又∵MD⊥BC

∴BD＝DG

∴AB+BD＝CG+DG

即CD＝DB+BA

根据证明过程，分别写出下列步骤的理由：

①　 　，

②　 　，

③　 　；

（理解运用）如图1，AB、BC是⊙O的两条弦，AB＝4，BC＝6，点M是的中点，MD⊥BC于点D，则BD＝　 　；

（变式探究）如图3，若点M是的中点，（问题呈现）中的其他条件不变，判断CD、DB、BA之间存在怎样的数量关系？并加以证明．

（实践应用）根据你对阿基米德折弦定理的理解完成下列问题：

如图4，BC是⊙O的直径，点A圆上一定点，点D圆上一动点，且满足∠DAC＝45°，若AB＝6，⊙O的半径为5，求AD长．

Answer 1

【答案】（问题呈现）相等的弧所对的弦相等；同弧所对的圆周角相等；有两组边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等；（理解运用）1；（变式探究）DB＝CD+BA；证明见解析；（实践应用）7或．

【解析】

（问题呈现）根据圆的性质即可求解；

（理解运用）CD＝DB+BA，即CD＝6﹣CD+AB，即CD＝6﹣CD+4，解得：CD＝5，即可求解；

（变式探究）证明△MAB≌△MGB（SAS），则MA＝MG，MC＝MG，又DM⊥BC，则DC＝DG，即可求解；

（实践应用）已知∠D1AC＝45°，过点D1作D1G1⊥AC于点G1，则CG1′+AB＝AG1，所以AG1＝（6+8）＝7．如图∠D2AC＝45°，同理易得AD2＝．

（问题呈现）

①相等的弧所对的弦相等

②同弧所对的圆周角相等

③有两组边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等

故答案为：相等的弧所对的弦相等；同弧所定义的圆周角相等；有两组边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等；

（理解运用）CD＝DB+BA，即CD＝6﹣CD+AB，即CD＝6﹣CD+4，解得：CD＝5，

BD＝BC﹣CD＝6﹣5＝1，

故答案为：1；

（变式探究）DB＝CD+BA．

证明：在DB上截去BG＝BA，连接MA、MB、MC、MG，

∵M是弧AC的中点，

∴AM＝MC，∠MBA＝∠MBG．

又MB＝MB

∴△MAB≌△MGB（SAS）

∴MA＝MG

∴MC＝MG，

又DM⊥BC，

∴DC＝DG，

AB+DC＝BG+DG，

即DB＝CD+BA；

（实践应用）

如图，BC是圆的直径，所以∠BAC＝90°．

因为AB＝6，圆的半径为5，所以AC＝8．

已知∠D1AC＝45°，过点D1作D1G1⊥AC于点G1，

则CG1′+AB＝AG1，

所以AG1＝（6+8）＝7．

所以AD1＝7．

如图∠D2AC＝45°，同理易得AD2＝．

所以AD的长为7或．