【题目】(问题呈现)阿基米德折弦定理:
如图1,AB和BC是⊙O的两条弦(即折线ABC是圆的一条折弦),BC>AB,点M是的中点,则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点,即CD=DB+BA.下面是运用“截长法”证明CD=DB+BA的部分证明过程.
证明:如图2,在CD上截取CG=AB,连接MA、MB、MC和MG.
∵M是的中点,
∴MA=MC①
又∵∠A=∠C②
∴△MAB≌△MCG③
∴MB=MG
又∵MD⊥BC
∴BD=DG
∴AB+BD=CG+DG
即CD=DB+BA
根据证明过程,分别写出下列步骤的理由:
① ,
② ,
③ ;
(理解运用)如图1,AB、BC是⊙O的两条弦,AB=4,BC=6,点M是的中点,MD⊥BC于点D,则BD= ;
(变式探究)如图3,若点M是的中点,(问题呈现)中的其他条件不变,判断CD、DB、BA之间存在怎样的数量关系?并加以证明.
(实践应用)根据你对阿基米德折弦定理的理解完成下列问题:
如图4,BC是⊙O的直径,点A圆上一定点,点D圆上一动点,且满足∠DAC=45°,若AB=6,⊙O的半径为5,求AD长.
【答案】(问题呈现)相等的弧所对的弦相等;同弧所对的圆周角相等;有两组边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等;(理解运用)1;(变式探究)DB=CD+BA;证明见解析;(实践应用)7或
.
【解析】
(问题呈现)根据圆的性质即可求解;
(理解运用)CD=DB+BA,即CD=6﹣CD+AB,即CD=6﹣CD+4,解得:CD=5,即可求解;
(变式探究)证明△MAB≌△MGB(SAS),则MA=MG,MC=MG,又DM⊥BC,则DC=DG,即可求解;
(实践应用)已知∠D1AC=45°,过点D1作D1G1⊥AC于点G1,则CG1′+AB=AG1,所以AG1=(6+8)=7.如图∠D2AC=45°,同理易得AD2=
.
(问题呈现)
①相等的弧所对的弦相等
②同弧所对的圆周角相等
③有两组边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等
故答案为:相等的弧所对的弦相等;同弧所定义的圆周角相等;有两组边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等;
(理解运用)CD=DB+BA,即CD=6﹣CD+AB,即CD=6﹣CD+4,解得:CD=5,
BD=BC﹣CD=6﹣5=1,
故答案为:1;
(变式探究)DB=CD+BA.
证明:在DB上截去BG=BA,连接MA、MB、MC、MG,
∵M是弧AC的中点,
∴AM=MC,∠MBA=∠MBG.
又MB=MB
∴△MAB≌△MGB(SAS)
∴MA=MG
∴MC=MG,
又DM⊥BC,
∴DC=DG,
AB+DC=BG+DG,
即DB=CD+BA;
(实践应用)
如图,BC是圆的直径,所以∠BAC=90°.
因为AB=6,圆的半径为5,所以AC=8.
已知∠D1AC=45°,过点D1作D1G1⊥AC于点G1,
则CG1′+AB=AG1,
所以AG1=(6+8)=7.
所以AD1=7.
如图∠D2AC=45°,同理易得AD2=.
所以AD的长为7或
.
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【题目】如图,在矩形ABCD中,AB=6,AD=8,点M,N分别为AD,AC上的动点(不含端点),AN=DM,连结点M与矩形的一个顶点,以该线段为直径作⊙O,当点N和矩形的另一个顶点也在⊙O上时,线段DM的长为_____.
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,AB是⊙O的直径,AC⊥AB,BC交⊙O于点D,点E在劣弧BD上,DE的延长线交AB的延长线于点F,连接AE交BD于点G.
(1)求证:∠AED=∠CAD;
(2)若点E是劣弧BD的中点,求证:ED2=EGEA;
(3)在(2)的条件下,若BO=BF,DE=2,求EF的长.
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【题目】已知二次函数y=x2﹣4x+3.
(1)在所给的平面直角坐标系中画出它的图象;
(2)若三点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3.y3)且2<x1<x2<x3,则y1,y2,y3的大小关系为 .
(3)把所画的图象如何平移,可以得到函数y=x2的图象?请写出一种平移方案.
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【题目】已知:如图,点C、D、B、F在一条直线上,且AB⊥BD,DE⊥BD,AB=CD,CE=AF.
求证:(1)△ABF≌△CDE;
(2)CE⊥AF.
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【题目】定义:三角形一边上的点将该边分为两条线段,且这两条线段的积等于这个点到该边所对顶点连线的平方,则称这个点为三角形该边的“好点”.如图1,△ABC中,点D是BC边上一点,连结AD,若,则称点D是△ABC中BC边上的“好点”.
(1)如图2,△ABC的顶点是网格图的格点,请仅用直尺画出AB边上的一个“好点”.
(2)△ABC中,BC=9,,
,点D是BC边上的“好点”,求线段BD的长.
(3)如图3,△ABC是的内接三角形,OH⊥AB于点H,连结CH并延长交
于点D.
①求证:点H是△BCD中CD边上的“好点”.
②若的半径为9,∠ABD=90°,OH=6,请直接写出
的值.
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【题目】某景区内有一块矩形油菜花田地(数据如图示,单位:m.)现在其中修建一条观花道(图中阴影部分)供游人赏花.设改造后剩余油菜花地所占面积为ym2.
(1)求y与x的函数表达式;
(2)若改造后观花道的面积为13m2,求x的值;
(3)若要求 0.5≤ x ≤1,求改造后剩余油菜花地所占面积的最大值.
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