Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，AC⊥AB，BC交⊙O于点D，点E在劣弧BD上，DE的延长线交AB的延长线于点F，连接AE交BD于点G．

（1）求证：∠AED＝∠CAD；

（2）若点E是劣弧BD的中点，求证：ED2＝EGEA；

（3）在（2）的条件下，若BO＝BF，DE＝2，求EF的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）4．

【解析】

（1）可得∠ADB＝90°，证得∠ABD＝∠CAD，∠AED＝∠ABD，则结论得证；

（2）证得∠EDB＝∠DAE，证明△EDG∽△EAD，可得比例线段，则结论得证；

（3）连接OE，证明OE∥AD，则可得比例线段，则EF可求出．

（1）证明：∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB＝90°，

∴∠ABD+∠BAD＝90°

∵AC⊥AB，

∴∠CAB＝90°，

∴∠CAD+∠BAD＝90°

∴∠ABD＝∠CAD，

∵＝，

∴∠AED＝∠ABD，

∴∠AED＝∠CAD；

（2）证明：∵点E是劣弧BD的中点，

∴，

∴∠EDB＝∠DAE，

∵∠DEG＝∠AED，

∴△EDG∽△EAD，

∴，

∴ED2＝EGEA；

（3）解：连接OE，

∵点E是劣弧BD的中点，

∴∠DAE＝∠EAB，

∵OA＝OE，

∴∠OAE＝∠AEO，

∴∠AEO＝∠DAE，

∴OE∥AD，

∴，

∵BO＝BF＝OA，DE＝2，

∴，

∴EF＝4．