【题目】已知抛物线y=ax2﹣2ax+c(a<0)的图象过点A(3,m).
(1)当a=﹣1,m=0时,求抛物线的顶点坐标_____;
(2)如图,直线l:y=kx+c(k<0)交抛物线于B,C两点,点Q(x,y)是抛物线上点B,C之间的一个动点,作QD⊥x轴交直线l于点D,作QE⊥y轴于点E,连接DE.设∠QED=β,当2≤x≤4时,β恰好满足30°≤β≤60°,a=_____.
【答案】(1,4) ﹣
【解析】
(1)利用待定系数法求得抛物线解析式,然后利用配方法将抛物线解析式转化为顶点式,可以直接得到答案;
(2)将点Q(x,y)代入抛物线解析式得到:y=ax2﹣2ax+c.结合一次函数解析式推知:D(x,kx+c).则由两点间的距离公式知QD=ax2﹣2ax+c﹣(kx+c)=ax2﹣(2a+k)x.在Rt△QED中,由锐角三角函数的定义推知tanβ==ax﹣2a﹣k.所以tanβ随着x的增大而减小.结合已知条件列出方程组,解该方程组即可求得a的值.
(1)当a=﹣1,m=0时,y=﹣x2+2x+c,A点的坐标为(3,0),
∴﹣9+6+c=0.
解得 c=3.
∴抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3.
即y=﹣(x﹣1)2+4.
∴抛物线的顶点坐标为(1,4),
故答案为(1,4).
(2)∵点Q(x,y)在抛物线上,
∴y=ax2﹣2ax+c.
又∵QD⊥x轴交直线 l:y=kx+c(k<0)于点D,
∴D点的坐标为(x,kx+c).
又∵点Q是抛物线上点B,C之间的一个动点,
∴QD=ax2﹣2ax+c﹣(kx+c)=ax2﹣(2a+k)x.
∵QE=x,
∴在Rt△QED中,tanβ==ax﹣2a﹣k.
∴tanβ是关于x的一次函数,
∵a<0,
∴tanβ随着x的增大而减小.
又∵当2≤x≤4时,β恰好满足30°≤β≤60°,且tanβ随着β的增大而增大,
∴当x=2时,β=60°;当x=4时,β=30°.
∴,
解得,
故答案为﹣.
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,AC⊥AB,BC交⊙O于点D,点E在劣弧BD上,DE的延长线交AB的延长线于点F,连接AE交BD于点G.
(1)求证:∠AED=∠CAD;
(2)若点E是劣弧BD的中点,求证:ED2=EGEA;
(3)在(2)的条件下,若BO=BF,DE=2,求EF的长.
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【题目】菱形中,为边上的点,相交于点.
(1)如图1,若,,求证:;
(2)如图2,若.求证:;
(3)如图3,在(1)的条件下,平移线段到,使为的中点,连接交于点,若,请直接写出的长度.
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【题目】设等边三角形的内切圆半径为外接圆半径为,平面内任意一点到等边三角形中心的距离为若满足则称点叫做等边三角形的中心关联点.在平面直角坐标系中,等边的三个顶点的坐标分别为.
(1)①等边中心的坐标为 ;
②已知点在中,是等边的中心关联点的是 ;
(2)如图1,过点作直线交轴正半轴于使.
①若线段上存在等边的中心关联点求的取值范围;
②将直线向下平移得到直线当满足什么条件时,直线上总存在等边的中心关联点;
(3)如图2,点为直线上一动点,的半径为当从点出发,以每秒个单位的速度向右移动,运动时间为秒.是否存在某一时刻使得上所有点都是等边的中心关联点?如果存在,请直接写出所有符合题意的的值;如果不存在,请说明理由.
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【题目】如图,边长为6的正方形ABCD中,E,F分别是AD,AB上的点,AP⊥BE,P为垂足.
(1)如图1,AF=BF,AE=,点T是射线PF上的一个动点,当△ABT为直角三角形时,求AT的长;
(2)如图2,若AE=AF,连接CP,求证:CP⊥FP.
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【题目】数学活动课上,老师和学生一起去测量学校升旗台上旗杆AB的高度,如图,老师测得升旗台前斜坡FC的坡比为iFC=1:10(即EF:CE=1:10),学生小明站在离升旗台水平距离为35m(即CE=35m)处的C点,测得旗杆顶端B的仰角为α,已知tanα=,升旗台高AF=1m,小明身高CD=1.6m,请帮小明计算出旗杆AB的高度.
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【题目】家庭过期药品属于“危险废物”,处理不当将污染环境,危害健康某市药监部门为了解家庭处理过期药品的方式,决定对全市家庭作一次简单随机抽样调查.
(1)下列选取样本的方法最合理的一种是 (只需填上正确答案的序号)
①在市中心某个居民区以家庭为单位随机抽取;
②在全市医务工作者中以家庭为单位随机抽取;
③在全市常住人口中以家庭为单位随机抽取.
(2)本次抽样调查发现,接受调查的家庭都有过期药品,现将有关数据呈现如下图:
① ,
②补全条形统计图;(标上数据)
③家庭过期药品的正确处理方式是送回收站,若该市有万户家庭,请估计大约有多少户家庭处理过期药品的方式是送回收站.
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【题目】初中学生对待学习的态度一直是教育工作者极为关注的一个问题.为此某市教育局对本市部分学校的八年级学生对待学习的态度进行了一次抽样调查(把学习态度分为三个层级,A级:喜欢;B级:不太喜欢;C级:不喜欢),并将调查结果绘制成不完整的统计图(如图).请根据图中提供的信息,解答下列问题:
(1)此次抽样调查中,共调查了_____名学生;
(2)将条形统计图补充完整;
(3)求出扇形统计图中级所占的圆心角的度数;
(4)根据抽样调查结果,请你估计该市近名初中生中大约有多少名学生学习态度达标.(达标包括级和级)
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【题目】某工厂的甲、乙两个车间各生产了400个新款产品,为了检验甲、乙两车间生产的同一款新产品的合格情况(尺寸范围在165≤x<180为合格),分别从甲、乙两个车间生产的产品中随机各抽取了20个样品迸行检测,获得了它们的数据(尺寸),并对数据进行了整理、描述和分析.下面给出了部分信息:
a.甲车间产品尺寸的扇形统计图如下(数据分为6组:165≤x<170,170≤x<175,
175≤x<180,180≤x<185,185≤x<190,190≤x≤195):
b.甲车间生产的产品尺寸在175≤x<180这一组的是:
175 176 176 177 177 178 178 179 179
c.甲、乙两车间生产产品尺寸的平均数、中位数、众数如下:
车间 | 平均数 | 中位数 | 众数 |
甲车间 | 178 | m | 183 |
乙车间 | 177 | 182 | 184 |
根据以上信息,回答下列问题:
(1)表中m的值为 ;
(2)此次检测中,甲、乙两车间生产的产品合格率更高的是 (填“甲”或“乙”),理由是 ;
(3)如果假设这个工厂生产的所有产品都参加了检测,那么估计甲车间生产该款新产品中合格产品有 个.
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