Question

【题目】在平面直角坐标系中，A、B、C三点的坐标分别为：A（1，4）、B（0，3）、C（3，0），若P为x轴上一点，且∠BPC＝2∠ACB，则点P的坐标为_____．

Answer 1

【答案】（﹣4，0）或（4，0）．

【解析】

由已知可得△ABC是直角三角形，作△ABC关于BC的轴对称图形，得到△BCN，过点A作AM⊥NC，由三角形ANC面积关系，可得AMNC＝2ABBC，AM＝，MC＝，tan∠ACN＝tan2∠ACB＝，tan∠BPC＝，所以OP=4.

解：如图，∵A（1，4）、B（0，3）、C（3，0），

∴AB＝，BC＝3，AC＝2，△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°，

作△ABC关于BC的轴对称图形，得到△BCN，过点A作AM⊥NC，

由三角形ANC面积关系，可得

AMNC＝2ABBC，

∴2AM＝2××3，

∴AM＝，

∴MC＝，

∴tan∠ACN＝tan2∠ACB＝，

∵∠BPC＝2∠ACB，

∴tan∠BPC＝，

∴PO＝4，

∴P（﹣4，0）或P（4，0），

故答案为（﹣4，0）或（4，0）．