Question

5．如图，已知线段AB∥CD，AD与BC相交于点K，∠ABC的角平线分BE交AD于E，当AE=$\frac{1}{2}$AD时，猜想线段AB、BC、CD三者之间有怎样的等量关系？请写出你的结论并予以证明．

Answer 1

分析 AB=BC+CD．作△ABD的中位线，由中位线定理得EF∥AB∥CD，可知G为BC的中点，由平行线及角平分线性质得∠GEB=∠EBA=∠GBE，则EG=BG=$\frac{1}{2}$BC，而GF=$\frac{1}{2}$CD，EF=$\frac{1}{2}$AB，利用EF=EG+GF求线段AB、BC、CD三者之间的数量关系．

解答 解：猜想：AB=BC+CD，
证明：取BD的中点为F，连接EF交BC于G点，
由中位线定理，得EF∥AB∥CD，
∴G为BC的中点，∠GEB=∠EBA，
又∵∠EBA=∠GBE，
∴∠GEB=∠GBE，
∴EG=BG=$\frac{1}{2}$BC，而GF=$\frac{1}{2}$CD，EF=$\frac{1}{2}$AB，
∵EF=EG+GF，
即：$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$BC+$\frac{1}{2}$CD；
∴AB=BC+CD．

点评 本题考查了平行线的性质，三角形中位线定理，角平分线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用三角形中位线定理解决问题．