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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4cm,BC=3cm,动点M、N从点C同时出发,均以每秒1cm的速度分别沿CA、CB向终点A、B移动,同时动点P从点B出发,以每秒2cm的速度沿BA向终点A移动,连接PM,PN,MN,设移动时间为t(单位:秒,0<t<2.5).

(1)当时间为t秒时,点P到BC的距离为 cm.

(2)当t为何值时,以A,P,M为顶点的三角形与△ABC相似?

(3)是否存在某一时刻t,使四边形APNC的面积S有最小值?若存在,求S的最小值;若不存在,请说明理由.

【答案】(1);(2).(3) 当t=时,四边形APNC的面积S有最小值,其最小值是

【解析

试题分析:(1)先根据勾股定理求出AB的长,过点P作PH⊥BC于点H,构造平行线PH∥AC,由平行线分线段成比例求得以t表示的PH的值;

(2)分类讨论:△AMP∽△ABC和△APM∽△ABC两种情况.利用相似三角形的对应边成比例来求t的值;

(3)根据“S=S△ABC-S△BPH”列出S与t的关系式S=(t-2+(0<t<2.5),则由二次函数最值的求法即可得到S的最小值.

试题解析:(1)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4cm,BC=3cm,

AB=5cm,

过P作PH⊥BC于H,则∠PHB=∠C=90°,

∠B=∠B,

△BPH∽△BAC,

解得:PH=(cm),

(2)以A,P,M为顶点的三角形与△ABC相似,分两种情况:

①当△AMP∽△ABC时,,即

解得t=

②当△APM∽△ABC时,,即

解得t=0(不合题意,舍去);

综上所述,当t=秒时,以A、P、M为顶点的三角形与△ABC相似;

(3)存在某一时刻t,使四边形APNC的面积S有最小值.理由如下:

假设存在某一时刻t,使四边形APNC的面积S有最小值.

如图,由(1)知:PH=

S=S△ABC-S△BPN

=×3×4-×(3-t)t,

=(t-2+(0<t<2.5).

>0,

S有最小值.

当t=时,S最小值=

答:当t=时,四边形APNC的面积S有最小值,其最小值是

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