Question

【题目】我们规定：一组邻边相等且对角互补的四边形叫作“完美四边形”．

（1）在①平行四边形，②菱形，③矩形，④正方形中，一定为“完美”四边形的是 （请填序号）；

（2）在“完美”四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，连接AC．

①如图1，求证：AC平分∠BCD；

小明通过观察、实验，提出以下两种想法，证明AC平分∠BCD：

想法一：通过∠B+∠D=180°，可延长CB到E，使BE=CD，通过证明△AEB≌△ACD，从而可证AC平分∠BCD；

想法二：通过AB=AD，可将△ACD绕点A顺时针旋转，使AD与AB重合，得到△AEB，可证C,B,E三点在条直线上，从而可证AC平分∠BCD.

请你参考上面的想法，帮助小明证明AC平分∠BCD；

②如图2，当∠BAD=90°，用等式表示线段AC,BC,CD之间的数量关系，并证明.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）①详见解析；②BC+CD=AC．

【解析】

（1）根据“完美四边形”的定义可以判断出正方形是完美四边形；

（2）①想法一：通过∠B+∠D=180°，可延长CB到E，使BE=CD，通过证明△AEB≌△ACD，从而可证AC平分∠BCD；

想法二：通过AB=AD，可将△ACD绕点A顺时针旋转，使AD与AB重合，得到△AEB，可证C,B,E三点在条直线上，从而可证AC平分∠BCD；

②②延长CB使BE=CD，连接AE，可得△ACE为等腰三角形，因为∠BAD =90°得∠EAC=90°，由勾股定理可得AC,BC,CD之间的数量关系.

（1）（1）根据“邻等对补四边形”的定义，正方形一定是“邻等对补四边形”．

故答案为：④．

（2）想法一：延长CB使BE=CD，连接AE

∵∠ADC+∠ABC=180°，∠ABE+∠ABC=180°，

∴∠ADC=∠ABE．

∵AD=AB，

∴△ADC≌△ABE．

∴∠ACD=∠AEB;

AC=AE．

∴∠ACB=∠AEB．

∴∠ACD=∠ACB．

即AC平分∠BCD

想法二：将△ACD绕点A顺时针旋转，使AD边与AB边重合，得到△ABE，

∴△ADC≌△ABE．

∴∠ADC=∠ABE;

∠ACD=∠AEB;

AC=AE．

∵∠ADC+∠ABC=180°，

∴∠ABE+∠ABC=180°．

∴点C,B,E在一条直线上．

∵AC=AE，

∴∠ACB=∠AEB．

∴∠ACD=∠ACB．

即AC平分∠BCD．

②延长CB使BE=CD，连接AE，

由①得△ADC≌△ABE

∴AC=AE

∴△ACE为等腰三角形．

∵∠BAD =90°，

∴∠EAC=90°．

∴．

∴ ．

∴BC+CD=AC．