Question

已知：如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3厘米，CB=4厘米．两个动点P、Q分别从A、C两点同时按顺时针方向沿△ABC的边运动．当点Q运动到点A时，P、Q两点运动即停止．点P、Q的运动速度分别为1厘米/秒、2厘米/秒，设点P运动时间为t（秒）．
（1）当时间t为何值时，以P、C、Q三点为顶点的三角形的面积（图中的阴影部分）等于2厘米²；
（2）当点P、Q运动时，阴影部分的形状随之变化．设PQ与△ABC围成阴影部分面积为S（厘米²），求出S与时间t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围；
（3）点P、Q在运动的过程中，阴影部分面积S有最大值吗？若有，请求出最大值；若没有，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由于PC=3-t，CQ=2t，∠C=90°，可表示S_△PCQ，从而求出t的值；
（2）根据运动状态，分三种可能情况：①当0＜t≤2时，②当2＜t≤3时，③当3＜t≤4.5时，分别表示阴影部分面积，在②中，S=S_△ABC-S_△APQ，由，∠C=90°，AC=3厘米，CB=4厘米，用勾股定理可求AB=5厘米，作PH⊥AB于H，利用相似比表示PH，再表示面积；
（3）用（2）的结论，分别求出每一种情况下的最大值（注意自变量取值范围），再比较，求出整个过程中的最大值．

解答：解：（1）
S_△PCQ=

1

2

PC•CQ=

1

2

（3-t）•2t=（3-t）t=2，
解得t₁=1，t₂=2．
∴当时间t为1秒或2秒时，S_△PCQ=2厘米²；

（2）①当0＜t≤2时，S_△PCQ=

1

2

PC•CQ=

1

2

（3-t）•2t=（3-t）t，S=-t²+3t；
②当2＜t≤3时，AQ=9-2t，
作PH⊥AB于H，则△AHP∽△ACB，
∴PH：BC=AP：AB
∴PH=

4

5

t，
∴S=S_△ABC-S_△APQ，即S=

4

5

t²-

18

5

t+6；
③在3＜t≤4.5时，CP=t-AC=t-3，则BP=BC-PC=4-（t-3）=7-t，
∵△ABC∽△PBH，
∴

PH

AC

=

BP

AB

，即

PH

3

=

7-t

5

，
故PH=

21-3t

5

，
又∵BQ=2t-BC=2t-4，
∴S=

1

2

BQ•PH=

1

2

（2t-4）•

21-3t

5

=-

3

5

t²+

27

5

t-

42

5

；

（3）有最大值．
①在0＜t≤2时，S=-t²+3t=-（t-

3

2

）²+

9

4

，当t=

3

2

，S有最大值，S₁=

9

4

；
②在2＜t≤3时，S=

4

5

t²-

18

5

t+6=

4

5

（t-

9

4

）²+

39

20

，当t=

9

4

，S有最大值，S₂=

39

20

；
③在3＜t≤4.5时，S=-

3

5

t²+

27

5

t-

42

5

=-

3

5

（t-

9

2

）²+

15

4

，当t=

9

2

，S有最大值，S₃=

15

4

；
∵S₂＜S₁＜S₃
∴t=

9

2

时，S有最大值，S_最大值=

15

4

．

点评：本题考查了二次函数的实际运用，以时间t为自变量，面积为函数，形成二次函数关系式，再求二次函数最大值；同时，渗透了分类讨论的思想．