【题目】如图,抛物线交轴于,两点,交轴于点C,与过点C且平行于x轴的直线交于另一点,点P是抛物线上一动点.
(1)求抛物线解析式及点D的坐标;
(2)点在轴上,若以,,,为顶点的四边形是平行四边形,求此时点的坐标;
(3)过点作直线CD的垂线,垂足为,若将沿翻折,点的对应点为.是否存在点,使恰好落在轴上?若存在,求出此时点P的坐标;若不存在,说明理由.
【答案】(1);点坐标为; (2)P1(0,2); P2(,-2);P3(,-2) ; (3)满足条件的点有两个,其坐标分别为:(, ),(,).
【解析】
1)用待定系数法可得出抛物线的解析式,令y=2可得出点D的坐标
(2)分两种情况进行讨论,①当AE为一边时,AE∥PD,②当AE为对角线时,根据平行四边形对顶点到另一条对角线距离相等,求解点P坐标
(3)结合图形可判断出点P在直线CD下方,设点P的坐标为(,),分情况讨论,①当P点在y轴右侧时,②当P点在y轴左侧时,运用解直角三角形及相似三角形的性质进行求解即可
(1)∵抛物线经过,两点,
∴,解得:,,
∴抛物线解析式为:;
当时,,解得:,(舍),即:点坐标为.
(2)∵,两点都在轴上,∴有两种可能:
①当为一边时,∥,此时点与点重合(如图1),∴,
②当为对角线时,点、点到直线(即轴)的距离相等,
∴点的纵坐标为(如图2),
把代入抛物线的解析式,得:,
解得:,,
∴点的坐标为,,
综上所述:; ; .
(3)存在满足条件的点,显然点在直线下方,设直线交轴于,
点的坐标为(,),
①当点在轴右侧时(如图3),
,
,
又∵,
∴,
又,∴,
∴,
∵,,,∴,∴,
∴,==,
即,∴点的坐标为(,),
②当点在轴左侧时(如图4),
此时,,==,
=-()=,
又∵,,
∴,又
∴,∴,
∵,,,
∴,∴,
∴,
==,
此时,点的坐标为(,).
综上所述,满足条件的点有两个,其坐标分别为:(,),(,).
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【题目】我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列,其中“杨辉三角”就是一例.如图,这个三角形的构造法则:两腰上的数都是1,其余每个数均为其上方左、右两数之和,它给出了(a+b)n(n为正整数)的展开式(按a的次数由大到小的顺序排列)的系数规律.例如,在三角形中第三行的三个数1,2,1,恰好对应(a+b)2=a2+2ab+b2展开式中的系数;第四行的四个数1,3,3,1,恰好对应着(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b2展开式中的系数等.
(1)(a+b)n展开式中项数共有 项.
(2)写出(a+b)5的展开式:(a+b)5= .
(3)利用上面的规律计算:25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1.
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【题目】中华文明,源远流长;中华汉字,寓意深广.为传承中华优秀传统文化,某校团委组织了一次全校3000名学生参加的“汉字听写”大赛.为了解本次大赛的成绩,校团委随机抽取了其中200名学生的成绩作为样本进行统计,制成如下不完整的统计图表:
频数频率分布表
成绩x(分) | 频数(人) | 频率 |
50≤x<60 | 10 | 0.05 |
60≤x<70 | 30 | 0.15 |
70≤x<80 | 40 | n |
80≤x<90 | m | 0.35 |
90≤x≤100 | 50 | 0.25 |
根据所给信息,解答下列问题:
(1)m= ,n= ;
(2)补全频数分布直方图;
(3)这200名学生成绩的中位数会落在 分数段;
(4)若成绩在90分以上(包括90分)为“优”等,请你估计该校参加本次比赛的3000名学生中成绩是“优”等的约有多少人?
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,直线分别交x轴、y轴于点B,C,正方形AOCD的顶点D在第二象限内,E是BC中点,OF⊥DE于点F,连结OE,动点P在AO上从点A向终点O匀速运动,同时,动点Q在直线BC上从某点Q1向终点Q2匀速运动,它们同时到达终点.
(1)求点B的坐标和OE的长;
(2)设点Q2为(m,n),当tan∠EOF时,求点Q2的坐标;
(3)根据(2)的条件,当点P运动到AO中点时,点Q恰好与点C重合.
①延长AD交直线BC于点Q3,当点Q在线段Q2Q3上时,设Q3Q=s,AP=t,求s关于t的函数表达式.
②当PQ与△OEF的一边平行时,求所有满足条件的AP的长.
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【题目】如图,直线轴于点(1,0),直线轴于点(2,0),直线轴于点(3,0),…,直线轴于点(n,0)。函数的图象与直线分别交于点;函数的图象与直线分别交于点。如果的面积记作,四边形的面积记作,四边形的面积记作,…,四边形的面积记作,那么_____________.
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【题目】某公司研发生产的560件新产品需要精加工后才能投放市场.现由甲、乙两个工厂来加工生产,已知甲工厂每天加工生产的新产品件数是乙工厂每天加工生产新产品件数的1.5倍,并且加工生产240件新产品甲工厂比乙工厂少用4天.
(1)求甲、乙两个工厂每天分别可加工生产多少件新产品?
(2)若甲工厂每天的加工生产成本为2.8万元,乙工厂每天的加工生产成本为2.4万元要使这批新产品的加工生产总成本不超过60万元,至少应安排甲工厂加工生产多少天?
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【题目】如图,AB是圆O的直径,O为圆心,AD、BD是半圆的弦,且∠PDA=∠PBD.延长PD交圆的切线BE于点E
(1)证明:直线PD是⊙O的切线.
(2)如果∠BED=60°,,求PA的长.
(3)将线段PD以直线AD为对称轴作对称线段DF,点F正好在圆O上,如图2,求证:四边形DFBE为菱形.
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【题目】我们把有两边对应相等,且夹角互补(不相等)的两个三角形叫做“互补三角形”,如图1,□ABCD中,△AOB和△BOC是“互补三角形”.
(1)写出图1中另外一组“互补三角形”_______;
(2)在图2中,用尺规作出一个△EFH,使得△EFH和△EFG为“互补三角形”,且△EFH和△EFG在EF同侧,并证明这一组“互补三角形”的面积相等.
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【题目】甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米,先到终点的人原地休息.已知甲先出发4分钟,在整个步行过程中,甲、乙两人的距离y(米)与甲出发的时间t(分)之间的关系如图所示,下列结论:
①甲步行的速度为60米/分;
②乙走完全程用了32分钟;
③乙用16分钟追上甲;
④乙到达终点时,甲离终点还有300米
其中正确的结论有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
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