Question

【题目】如图，一伞状图形，已知，点是角平分线上一点，且，，与交于点，与交于点．

(1)如图一，当与重合时，探索，的数量关系

(2)如图二，将在(1)的情形下绕点逆时针旋转度，继续探索，的数量关系，并求四边形的面积．

Answer 1

【答案】（1），证明详见解析；（2），

【解析】

（1）根据角平分线定义得到∠POF=60°，推出△PEF是等边三角形，得到PE=PF；

（2）过点P作PQ⊥OA，PH⊥OB，根据角平分线的性质得到PQ=PH，∠PQO=∠PHO=90°，根据全等三角形的性质得到PE=PF，S四边形OEPF=S四边形OQPH，求得OQ=1，QP=，根据三角形的面积公式即可得到结论．

解：（1）∵，平分，

∴，

∵，

∴ ，

∴是等边三角形，

∴；

（2）过点作，，

∵平分，

∴，，

∵，

∴∠QPH＝60°，

∴，

∴，

在与中

，

∴，

∴，

，

∵，，平分，

∴，

∴，＝，

∴＝，

∴四边形的面积＝＝