Question

4．如图，抛物线与y轴相交于点A（0，2），与x轴相交于B（4，0）、C（$-\frac{1}{2}$，0）两点．直线l经过A、B两点．

（1）分别求出直线l和抛物线相应的函数表达式；
（2）平行于y轴的直线x=2交抛物线于点P，交直线l于点D．
①直线x=t（0≤t≤4）与直线l相交于点E，与抛物线相交于点F．若EF：DP=3：4，求t的值；
②将抛物线沿y轴上下平移，所得的抛物线与y轴交于点A′，与直线x=2交于点P′．当P′O平分∠A′P′P时，求平移后的抛物线相应的函数表达式．

Answer 1

分析 （1）设直线l的函数表达式是y=kx+b，根据题意求出k、b即可得出直线l的函数表达式，再设抛物线的函数表达式为y=ax²+bx+c（a≠0），再把各点的坐标代入，求出a，b，c的值，即可得出答案；
（2）①根据点E、F的坐标，求出EF的解析式，再根据平行于y轴的直线x=2交抛物线于点P，交直线l于点D，求出DP，然后根据EF：DP=3：4，即可求出t的值；
②先根据抛物线沿y轴向上平移时，过点A作AM⊥PD，求出AP，再根据P′O平分∠A′P′P时，得出AO=A′P′，再根据四边形A′APP′是平行四边形，得出A′O=AP，求出AA′，从而得出平移后的抛物线相应的函数表达式；再将抛物线沿y轴向下平移，过点A作AN⊥PD，得出A′N=2，根据四边形APP′A′是平行四边形，得出A′P′=AP的值，再根据P′O平分∠A′P′P时，∠A′P′O=∠PP′O，得出A′O=A′P′，求出AA′的值，从而得出抛物线相应的函数表达式．

解答 解：（1）设直线l的函数表达式是y=kx+b，
根据题意得；$\left\{\begin{array}{l}{2=b}\\{0=4k+b}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{k=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
直线l的函数表达式是y=-$\frac{1}{2}$x+2，
设抛物线的函数表达式为y=ax²+bx+c（a≠0），
根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{2=c}\\{0=16a+4b+c}\\{0=\frac{1}{4}a-\frac{1}{2}b+c}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=\frac{7}{2}}\\{c=2}\end{array}\right.$，
抛物线的函数表达式为y=-x²+$\frac{7}{2}$x+2，

（2）①∵直线x=t（0≤t≤4）与直线l相交于点E，与抛物线相交于点F，
∴点E的坐标是（t，-$\frac{1}{2}$t+2），F的坐标是（t，-t²+$\frac{7}{2}$t+2），
∴EF=（-t²+$\frac{7}{2}$t+2）-（-$\frac{1}{2}$t+2）=-t²+4t，
∵平行于y轴的直线x=2交抛物线于点P，交直线l于点D，
∴点P的坐标是（2，5），D的坐标是（2，1），
∴DP=4，
若EF：DP=3：4，则（-t²+4t）：4=3：4，
解得t=1或t=3；
②如图1：将抛物线沿y轴向上平移，所得的抛物线与y轴交于点A′，与直线x=2交于点P′，
过点A作AM⊥PD，
则AM=2，PM=3，
AP=$\sqrt{{2}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
当P′O平分∠A′P′P时，∠A′P′O=∠PP′O，
∵AO∥P′P，
∴∠A′OP′=∠PP′O，
∴∠A′P′O=∠A′OP′，
∴AO=A′P′，
∵A′A=PP′，
∴四边形A′APP′是平行四边形，
∴A′O=AP=$\sqrt{13}$，
∴AA′=$\sqrt{13}$-2，
∴平移后的抛物线相应的函数表达式为y=-x²+$\frac{7}{2}$x+2+$\sqrt{13}$-2=-x²+$\frac{7}{2}$x+$\sqrt{13}$；
如图2：将抛物线沿y轴向下平移，所得的抛物线与y轴交于点A′，与直线x=2交于点P′，
过点A作AN⊥PD，
则A′N=2，
∵AA′∥P′P，A′A=PP′，
∴四边形APP′A′是平行四边形，
∠A′OP′=∠PP′O，
∴A′P′=AP=$\sqrt{13}$，
∵当P′O平分∠A′P′P时，∠A′P′O=∠PP′O，
∴∠A′OP′O=∠A′P′O，
∴A′O=A′P′=$\sqrt{13}$，
∴AA′=$\sqrt{13}$+2，
∴平移后的抛物线相应的函数表达式为y=-x²+$\frac{7}{2}$x+2-（$\sqrt{13}$+2）=-x²+$\frac{7}{2}$x-$\sqrt{13}$．

点评 本题考查了二次函数的综合，其中涉及到的知识点是二次函数的图象与性质、勾股定理、平行线和平行四边形的性质、函数图象的移动等，在求有关动点问题时要注意分情况讨论结果．