Question

【题目】感知：

（1）如图①，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，点P在BC边上，当∠APD=90°时，可知△ABP∽△PCD．（不要求证明）
（2）探究：如图②，在四边形ABCD中，点P在BC边上，当∠B=∠C=∠APD时，求证：△ABP∽△PCD．
（3）拓展：如图③，在△ABC中，点P是边BC的中点，点D、E分别在边AB、AC上．若∠B=∠C=∠DPE=45°，BC=4 ，CE=3，则DE的长为 ．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵∠APD=90°，

∴∠APB+∠DPC=90°，

∵∠B=90°，

∴∠APB+∠BAP=90°，

∴∠BAP=∠DPC，

∵AB∥CD，∠B=90°，

∴∠C=∠B=90°，

∴△ABP∽△DCP

（2）

解：∵∠APC=∠BAP+∠B，∠APC=∠APD+∠CPD，

∴∠BAP+∠B=∠APD+∠CPD．

∵∠B=∠APD，

∴∠BAP=∠CPD．

∵∠B=∠C，

∴△ABP∽△PCD

（3）
【解析】（3）解： 拓展：同探究的方法得出，△BDP∽△CPE，
∴ ，
∵点P是边BC的中点，
∴BP=CP=2 ，
∵CE=3，
∴ ，
∴BD= ，
∵∠B=∠C=45°，
∴∠A=180°﹣∠B﹣∠C=90°，
即AC⊥BC且AC=BC=4，
∴AD=AB﹣BD= ，AE=AC﹣CE=1，
在Rt△ADE中，DE= = ．
故答案是： ．
【考点精析】解答此题的关键在于理解相似三角形的性质的相关知识，掌握对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，以及对相似三角形的判定的理解，了解相似三角形的判定方法:两角对应相等，两三角形相似（ASA）；直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似； 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（SAS）；三边对应成比例，两三角形相似（SSS）．