Question

如图，点A在y轴上，点B在x轴上，以AB为边作正方形ABCD，P为正方形ABCD的对称中心，正方形ABCD的边长为

10

，tan∠ABO=3．
（1）求经过A，B，C三点的抛物线的解析式；
（2）求点P的坐标；
（3）若（1）中的抛物线与x轴另一交点为E，在直线OP上是否存在一点H，使△BHE的周长最小？如有，求出△BHE周长的最小值；
（4）点R从原点O出发沿OP方向以

2

个单位每秒速度运动，设运动时间为t秒，直接写出以A，B，C，R为顶点的四边形是梯形时t的值．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）过点C作CF⊥x轴于点F．由tan∠ABO=3可知

OA

OB

=3，设OA=3x，则OB=x，根据正方形ABCD的边长为

10

利用勾股定理求出OA及OB的长，得到A、B两点的坐标，再由全等三角形的判定定理得出△AOB≌△BFC，得出C的坐标，然后设经过A，B，C三点的抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，将A，B，C三点的坐标代入，运用待定系数法即可求解；
（2）连接AC，则P为AC中点，根据A，C两点的坐标利用中点坐标公式即可得出P点坐标；
（3）先求出（1）中的抛物线与x轴另一交点E的坐标，然后在y轴上取点B′（0，1），连结BB′，B′E，设B′E与OP交于点H，由B与B′关于OP对称，可知此时△BHE的周长=BH+HE+BE=B′E+

13

5

最小．在△OB′E中，运用勾股定理求出B′E=

349

5

，进而得出△BHE周长的最小值为

349 +13

5

；
（4）分当CR∥AB时，当AR∥BC时，当BR∥AC三种情况求得t的值．

解答：解：（1）如图，过点C作CF⊥x轴于点F．
∵tan∠ABO=3，
∴

OA

OB

=3，
∴设OA=3x，则OB=x．
∵正方形ABCD的边长为

10

，
∴在△AOB中，OA²+OB²=AB²，即9x²+x²=（

10

）²，
解得x=1，
∴OA=3，OB=1，
∴A（0，3），B（1，0）．
∵∠OAB+∠ABO=90°，∠ABO+∠FBC=90°，
∴∠OAB=∠FBC．
在△AOB与△BFC中，

∠OAB=∠FBC ∠AOB=∠BFC=90° AB=BC

，
∴△AOB≌△BFC（AAS），
∴AO=BF=3，OB=FC=1，
∴OF=OB+BF=1+3=4，
∴C（4，1）．
设经过A，B，C三点的抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，
将A，B，C三点的坐标代入，得

c=3 a+b+c=0 16a+4b+c=1

，
解得

a= 5 6 b=- 23 6 c=3

，
∴抛物线的解析式为y=

5

6

x²-

23

6

x+3；

（2）连接AC．
∵P为正方形ABCD的对称中心，
∴P是AC的中点，
∵A（0，3），C（4，1），
∴P（

0+4

2

，

3+1

2

），即（2，2），
故P点坐标为（2，2）；

（3）在直线OP上存在一点H，能够使△BHE的周长最小．
∵y=

5

6

x²-

23

6

x+3，
∴当y=0时，

5

6

x²-

23

6

x+3=0，
解得x₁=1，x₂=

18

5

，
∴E点坐标为（

18

5

，0）．
∵P点坐标为（2，2），
∴直线OP的解析式为y=x．
在y轴上取点B′（0，1），连结BB′，B′E，设B′E与OP交于点H．
∵OB=OB′=1，OP平分∠BOB′，
∴OP是线段BB′的垂直平分线，
∴B与B′关于OP对称，HB′=HB，
∴△BHE的周长=BH+HE+BE=B′H+HE+（

18

5

-1）=B′E+

13

5

，最小．
在△OB′E中，∵∠B′OE=90°，
∴B′E=

OB′2+OE2

=

12+( 18 5 )2

=

349

5

，
∴△BHE周长的最小值为

349 +13

5

；

（4）以A、B、C、R为顶点的梯形，有三种可能：
①如果CR∥AB，那么R是直线OP与CD的交点．
∵B（1，0），P（2，2），P为BD中点，
∴D（3，4），
又∵C（4，1），
∴可求得直线CD的解析式为y=-3x+13．
当x=y时，-3x+13=x，解得x=

13

4

；
即R点横坐标为

13

4

，故t=

13

4

；
②如果AR∥BC，那么R是直线OP与AD延长线的交点．
∵A（0，3），D（3，4），
∴可求得直线AD的解析式为y=

1

3

x+3．
当x=y时，

1

3

x+3=x，解得x=

9

2

；
即R点横坐标为

9

2

，故t=

9

2

；
③如果BR∥AC，过B作AC的平行线，交OP于R．
∵A（0，3），C（4，1），
∴可求得直线AC的解析式为：y=-

1

2

x+3．
设BR的解析式为y=-

1

2

x+n．
将B（1，0）代入，得-

1

2

×1+n=0，
解得n=

1

2

，
∴y=-

1

2

x+

1

2

．
当x=y时，-

1

2

x+

1

2

=x，解得x=

1

3

；
即R点横坐标为

1

3

，故t=

1

3

．
综上所述，t=

13

4

或t=

9

2

或t=

1

3

．

点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有全等三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，勾股定理，运用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，正方形的性质，中点坐标公式，轴对称的性质及梯形的判定定理等知识，综合性较强，有一定难度．运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键．