Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是线段AC上的一个动点且＝k（0＜k＜1），点F在线段BC上，且DEFH为矩形；过点E作MN⊥BC，分别交AD，BC于点M，N．

（1）求证：△MED∽△NFE；

（2）当EF＝FC时，求k的值．

（3）当矩形EFHD的面积最小时，求k的值，并求出矩形EFHD面积的最小值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；（3）矩形EFHD的面积最小值为，k＝．

【解析】

（1）由矩形的性质得出∠B＝90°，AD＝BC＝4，DC＝AB＝3，AD∥BC，证出∠EMD＝∠FNE＝90°，∠NEF＝∠MDE，即可得出△MED∽△NFE；

（2）设AM＝x，则MD＝NC＝4﹣x，由三角函数得出ME＝x，得出NE＝3﹣x，由相似三角形的性质得出＝，求出NF＝x，得出FC＝4﹣x﹣x＝4﹣x，由勾股定理得出EF＝＝，当EF＝FC时，得出方程4﹣x＝，解得x＝4（舍去），或x＝，进而得出答案；

（3）由相似三角形的性质得出＝＝，得出DE＝EF，求出矩形EFHD的面积＝DE×EF＝EF2＝＝，由二次函数的性质进而得出答案．

（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠B＝90°，AD＝BC＝4，DC＝AB＝3，AD∥BC，

∵MN⊥BC，

∴MN⊥AD，

∴∠EMD＝∠FNE＝90°，

∵四边形DEFH是矩形，

∴∠MED+∠NEF＝90°，

∴∠NEF＝∠MDE，

∴△MED∽△NFE；

（2）解：设AM＝x，则MD＝NC＝4﹣x，

∵tan∠DAC＝tan∠MAE＝＝＝，

∴ME＝x，

∴NE＝3﹣x，

∵△MED∽△NFE，

∴＝，即＝，

解得：NF＝x，

∴FC＝4﹣x﹣x＝4﹣x，EF＝＝，

当EF＝FC时，4﹣x＝，

解得：x＝4或x＝，

由题意可知x＝4不合题意，

当x＝时，AE＝，

∵AC＝＝＝5，

∴k＝＝；

（3）解：由（1）可知：△MED∽△NFE，

∴，

∴DE＝EF，

∴矩形EFHD的面积＝DE×EF＝EF2＝＝

∴当x﹣＝0时，即x＝时，矩形EFHD的面积最小，最小值为：，

∵cos∠MAE＝＝＝，

∴AE＝AM＝×＝，

此时k＝＝．