Question

如图，在△ABC中，D为BC上一点，BD=CD，AD⊥AC于点A，∠BAD=30°．
（1）求证：AC=

1

2

AB；
（2）当AB=4，AD=

3

时，求S_△ABD．

Answer 1

考点：直角三角形斜边上的中线

专题：

分析：（1）延长AD到E，使DE=AD，然后利用“边角边”证明△ACD和△EBD全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=AC，全等三角形对应角相等可得∠E=∠CAD，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半证明；
（2）求出BE，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解．

解答：（1）证明：如图，延长AD到E，使DE=AD，
在△ACD和△EBD中，

AD=DE ∠ADC=∠EDB BD=CD

，
∴△ACD≌△EBD（SAS），
∴BE=AC，∠E=∠CAD=90°，
∵∠BAD=30°，
∴BE=

1

2

AB，
∴AC=

1

2

AB；

（2）解：∵AB=4，
∴BE=

1

2

×4=2，
∴S_△ABD=

1

2

AD•BE=

1

2

×

3

×=

3

．

点评：本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，全等三角形的判定与性质，“遇中线，加倍延”作辅助线，构造出全等三角形是解题的关键．