Question

平面直角坐标系中，如图，将个边长为1的正方形并排组成矩形OABC，相邻两边OA和OC分别落在x轴和y轴的正半轴上，设抛物线y＝ax 2＋bx＋c（a＜0）过矩形顶点B、C。

（1）当n＝1时，如果a＝－1，试求b的值。

（2）当n＝2时，在矩形OABC上方作一边长为1的正方形EFMN，使EF在线段CB上，如果M，N两点也在抛物线上，求出此时抛物线的解析式。

（3）当n=3时，将矩形OABC绕点O顺时针旋转，使得点B落到x轴的正半轴上，如果该抛物线同时经过原点O，求a的值。

Answer 1

（1）1；（2）y=-x2+x+1；（3）-．

【解析】

试题分析：（1）根据已知得到抛物线对称轴为直线x=，代入即可求出b；

（2）设所求抛物线解析式为y=ax2+bx+1，由对称性可知抛物线经过点B（2，1）和点M（，2），把B、M的坐标代入得到方程组，求出a、b的值即可得到抛物线解析式；

（3）当n=3时，OC=1，BC=3，设所求抛物线解析式为y=ax2+bx，过C作CD⊥OB于点D，则Rt△OCD∽Rt△OBC，得出，设OD=t，则CD=3t，根据勾股定理OD2+CD2=OC2，求出t，得出C的坐标，把B、C坐标代入抛物线解析式即可得到方程组，求出a即可．

试题解析：（1）∵抛物线过矩形顶点B、C，其中C（0，1），B（n，1）

∴当n=1时，抛物线对称轴为直线x=，

∴-，

∵a=-1，

∴b=1，

答：b的值是1．

（2）设所求抛物线解析式为y=ax2+bx+1，

由对称性可知抛物线经过点B（2，1）和点M（，2），

则，

解得

∴所求抛物线解析式为y=-x2+x+1，

答：此时抛物线的解析式是y=-x2+x+1

（3）当n=3时，OC=1，BC=3，

设所求抛物线解析式为y=ax2+bx，

过C作CD⊥OB于点D，

则Rt△OCD∽Rt△OBC，

∴，

设OD=t，则CD=3t，

∵OD2+CD2=OC2，

∴（3t）2+t2=12，

∴t=，

∴C（，），

又∵B（，0），

∴把B、C坐标代入抛物线解析式，得，

解得：a=-，

答：a的值是-．

考点：二次函数综合题