Question

如图，已知经过点D（2，﹣）的抛物线y=（x+1）（x﹣3）（m为常数，且m＞0）与x轴交于点A、B（点A位于B的左侧），与y轴交于点C．

（1）填空：m的值为　 　，点A的坐标为　 　；

（2）根据下列描述，用尺规完成作图（保留作图痕迹，不写作法）：连接AD，在x轴上方作射线AE，使∠BAE=∠BAD，过点D作x轴的垂线交射线AE于点E；

（3）动点M、N分别在射线AB、AE上，求ME+MN的最小值；

（4）t是过点A平行于y轴的直线，P是抛物线上一点，过点P作l的垂线，垂足为点G，请你探究：是否存在点P，使以P、G、A为顶点的三角形与△ABD相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

       解：（1）∵抛物线y=（x+1）（x﹣3）经过点D（2，﹣），

∴m=，

把m=代入y=（x+1）（x﹣3），得y=（x+1）（x﹣3），

即y=x²﹣x﹣；

令y=0，得（x+1）（x﹣3）=0，

解得x=﹣1或3，

∴A（﹣1，0），B（3，0）；

（2）如图1所示；

（3）过点D作射线AE的垂线，垂足为N，交AB于点M，设DE与x轴交于点H，如图2，

由（1）（2）得点D与点E关于x轴对称，

∴MD=ME，

∵AH=3，DH=，

∴AD=2，

∴∠BAD=∠BAE=30°，

∴∠DAN=60°，

∴sin∠DAN=，

∴sin60°=，

∴DN=3，

∵此时DN的长度即为ME+MN的最小值，

∴ME+MN的最小值为3；

（4）假设存在点P，使以P、G、A为顶点的三角形与△ABD相似，如图3，

∵P是抛物线上一点，

∴设点P坐标（x，x²﹣x﹣）；

∴点G坐标（﹣1，x²﹣x﹣），

∵A（﹣1，0），B（3，0），D（2，﹣）；

∴AB=4，BD=2，AD=2，

∴△ABD为直角三角形的形状，

△ABD与以P、G、A为顶点的三角形相似，

分两种情况：

①△ABD∽△PAG，

∴=，

∴2（x+1）=2（x²﹣x﹣），

解得x₁=4，x₂=﹣1（舍去），

∴P（4，）；

②△ABD∽△APG，

∴=，

∴2（x+1）=2（x²﹣x﹣），

解得x₁=6，x₂=﹣1（舍去），

∴P（6，7）；

∴点P坐标（4，）或（6，7）．