Question

14．如图，A（-4，$\frac{1}{2}$），B（-1，2）是一次函数y₁=ax+b与反比例函数y₂=$\frac{m}{x}$图象的两个交点，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D．
（1）根据图象直接回答：在第二象限内，当x取何值时，y₁-y₂＞0？
（2）求一次函数解析式及m的值；
（3）P是线段AB上一点，连接PC，PD，若△PCA和△PDB面积相等，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）观察函数图象得到当-4＜x＜-1时，一次函数图象都在反比例函数图象上方；
（2）先利用待定系数法求一次函数解析式，然后把B点坐标代入y=$\frac{m}{x}$可计算出m的值；
（3）设P点坐标为（m，$\frac{1}{2}$m+$\frac{5}{2}$），利用三角形面积公式可得到$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{2}$•（m+4）=$\frac{1}{2}$•1•（2-$\frac{1}{2}$m-$\frac{5}{2}$），解方程得到m=-$\frac{5}{2}$，从而可确定P点坐标．

解答 解：（1）当y₁-y₂＞0，
即：y₁＞y₂，
∴一次函数y₁=ax+b的图象在反比例函数y₂=$\frac{m}{x}$图象的上面，
∵A（-4，$\frac{1}{2}$），B（-1，2）
∴当-4＜x＜-1时，y₁-y₂＞0；

（2）∵y₂=$\frac{m}{x}$图象过B（-1，2），
∴m=-1×2=-2，
∵y₁=ax+b过A（-4，$\frac{1}{2}$），B（-1，2），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-4a+b=\frac{1}{2}}\\{-a+b=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，
∴一次函数解析式为；y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{5}{2}$，

（3）设P（m，$\frac{1}{2}$m+$\frac{5}{2}$），过P作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，
∴PM=$\frac{1}{2}$m+$\frac{5}{2}$，PN=-m，
∵△PCA和△PDB面积相等，
∴$\frac{1}{2}AC•CM=\frac{1}{2}$BD•DN，
即；$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}（m+4）=\frac{1}{2}×1×（2-\frac{1}{2}m-\frac{5}{2}）$，
解得m=-$\frac{5}{2}$，
∴P（-$\frac{5}{2}$，$\frac{5}{4}$）．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．也考查了待定系数法求函数解析式以及观察函数图象的能力．