【题目】如图,已知抛物线经过点A(2,0)和B(t,0)(t≥2),与y轴交于点C,直线l:y=x+2t经过点C,交x轴于点D,直线AE交抛物线于点E,且有∠CAE=∠CDO,作CF⊥AE于点F.
(1)求∠CDO的度数;
(2)求出点F坐标的表达式(用含t的代数式表示);
(3)当S△COD﹣S四边形COAF=7时,求抛物线解析式;
(4)当以B,C,O三点为顶点的三角形与△CEF相似时,请直接写出t的值.
【答案】
(1)
解:∵直线l:y=x+2t与y轴点C,交x轴于点D,
∴C(0,2t),D(﹣2t,0)
∴OC=OD,
∵∠COD=90°,
∴∠CDO=∠DCO=45°
(2)
解:如图1,作FG⊥x轴于点G,FH⊥y轴于点H,
∵∠HOG=∠OGF=∠FHO=90°,
∴四边形OGFH是矩形
∴∠HFG=90°,
∴∠HFA+∠AFG=90°
又∵CF⊥AE,
∴∠CFH+∠HFA=90°
∴∠CFH=∠AFG,
又∵∠CAE=∠CDO=45°,
∴∠FCA=45°,
∴CF=AF,
又∵∠FGA=∠CHF=90°,
在△FGA和△FHC中,
∴△FGA≌△FHC,
∴FH=FG,HC=AG,
设F(m,m)
则2t﹣m=m﹣2,
得m=t+1,
∴F(t+1,t+1)
(3)
解:∵S△COD﹣S四边形COAF=S△COD﹣S正方形HOGF=7
∴ =7,
解得:t=4或﹣2(舍去),
则A点坐标(2,0),B点坐标(4,0),C点坐标(0,8)
设y=a(x﹣2)(x﹣4),
把C(0,8)代入y=a(x﹣2)(x﹣4),
解得a=1,
∴y=(x﹣2)(x﹣4)=x2﹣6x+8
(4)
解:t=3或2.
如图2,作ET⊥HF于T,
求得:E的横坐标是 ,CH=t﹣1,FT= ,
由△HCF∽△TFE,
则 ,
得:
当△OBC∽△FEC时, =2,
即 =2,
解得:t=3或t=﹣1( 舍去),
当△OBC∽△FCE时, ,
即 ,
解得:t=2或t=0(舍去).
∴t=3或2
【解析】(1)求出点C,D的坐标,得到OC=OD,即可解答;(2)如图1,作FG⊥x轴于点G,FH⊥y轴于点H,利用已知条件证明△FGA≌△FHC,得到FH=FG,HC=AG,设F(m,m)则2t﹣m=m﹣2,求出m的值,即可解答;(3)如图2,作ET⊥HF于T,分别得到E的横坐标是 ,CH=t﹣1,FT= ,再由△HCF∽△TFE,得到 ,即 ,分类讨论:当△OBC∽△FEC时;当△OBC∽△FCE时;求出t的值,即可解答.
【考点精析】利用全等三角形的性质对题目进行判断即可得到答案,需要熟知全等三角形的对应边相等; 全等三角形的对应角相等.
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【题目】如图,直线y=kx﹣2(k>0)与双曲线 在第一象限内的交点R,与x轴、y轴的交点分别为P、Q.过R作RM⊥x轴,M为垂足,若△OPQ与△PRM的面积相等,则k的值等于 .
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【题目】梅凯种子公司以一定价格销售“黄金1号”玉米种子,如果一次购买10千克以上(不含l0千克)的种子,超过l0千克的那部分种子的价格将打折,并依此得到付款金额y(单位:元)与一次购买种子数量x(单位:千克)之间的函数关系如图所示.下列四种说法:
①一次购买种子数量不超过l0千克时,销售价格为5元/千克;
②一次购买30千克种子时,付款金额为100元;
③一次购买10千克以上种子时,超过l0千克的那部分种子的价格打五折:
④一次购买40千克种子比分两次购买且每次购买20千克种子少花25元钱.
其中正确的个数是( ).
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
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【题目】如图,已知E,F,G,H分别为正方形ABCD各边上的动点,且始终保持AE=BF=CG=DH,点M,N,P,Q分别是EH、EF、FG、HG的中点.当AE从小于BE的变化过程中,若正方形ABCD的周长始终保持不变,则四边形MNPQ的面积变化情况是( )
A.一直增大
B.一直减小
C.先增大后减小
D.先减小后增大
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【题目】如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴分别交于点A(﹣3,0)和点B,与y轴交于点C(0,3),顶点为点D,对称轴DE交x轴于点E,连接AD,AC,DC.
(1)求抛物线的函数表达式.
(2)判断△ADC的形状,并说明理由.
(3)对称轴DE上是否存在点P,使点P到直线AD的距离与到x轴的距离相等?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】某校社团活动开设的体育选修课有:篮球(A),足球(B),排球(C),羽毛球(D),乒乓球(E),每个学生选修其中的一门,学校对某班全班同学的选课情况进行调查统计后制成了以下两个统计图.
(1)请你求出该班的总人数,并补全频数分布直方图;
(2)该班的其中某4个同学,1人选修篮球(A),2人选修足球(B),1人选修排球(C).若要从这4人中选2人,请你用列表或画树状图的方法,求选出的2人恰好1人选修篮球,1人选修足球的概率.
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【题目】如图,在△ABC中,∠ACB=90°,分别以点A和B为圆心,以相同的长(大于 AB)为半径作弧,两弧相交于点M和N,作直线MN交AB于点D,交BC于点E,连接CD,下列结论错误的是( )
A.AD=BD
B.BD=CD
C.∠A=∠BED
D.∠ECD=∠EDC
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【题目】如图,将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠,使点A落在平面上的F点处,DF交BC于点E.
(1)求证:△DCE≌△BFE;
(2)若CD=2,∠ADB=30°,求BE的长.
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