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【题目】如图,已知抛物线经过点A(2,0)和B(t,0)(t≥2),与y轴交于点C,直线l:y=x+2t经过点C,交x轴于点D,直线AE交抛物线于点E,且有∠CAE=∠CDO,作CF⊥AE于点F.

(1)求∠CDO的度数;
(2)求出点F坐标的表达式(用含t的代数式表示);
(3)当SCOD﹣S四边形COAF=7时,求抛物线解析式;
(4)当以B,C,O三点为顶点的三角形与△CEF相似时,请直接写出t的值.

【答案】
(1)

解:∵直线l:y=x+2t与y轴点C,交x轴于点D,

∴C(0,2t),D(﹣2t,0)

∴OC=OD,

∵∠COD=90°,

∴∠CDO=∠DCO=45°


(2)

解:如图1,作FG⊥x轴于点G,FH⊥y轴于点H,

∵∠HOG=∠OGF=∠FHO=90°,

∴四边形OGFH是矩形

∴∠HFG=90°,

∴∠HFA+∠AFG=90°

又∵CF⊥AE,

∴∠CFH+∠HFA=90°

∴∠CFH=∠AFG,

又∵∠CAE=∠CDO=45°,

∴∠FCA=45°,

∴CF=AF,

又∵∠FGA=∠CHF=90°,

在△FGA和△FHC中,

∴△FGA≌△FHC,

∴FH=FG,HC=AG,

设F(m,m)

则2t﹣m=m﹣2,

得m=t+1,

∴F(t+1,t+1)


(3)

解:∵SCOD﹣S四边形COAF=SCOD﹣S正方形HOGF=7

=7,

解得:t=4或﹣2(舍去),

则A点坐标(2,0),B点坐标(4,0),C点坐标(0,8)

设y=a(x﹣2)(x﹣4),

把C(0,8)代入y=a(x﹣2)(x﹣4),

解得a=1,

∴y=(x﹣2)(x﹣4)=x2﹣6x+8


(4)

解:t=3或2.

如图2,作ET⊥HF于T,

求得:E的横坐标是 ,CH=t﹣1,FT=

由△HCF∽△TFE,

得:

当△OBC∽△FEC时, =2,

=2,

解得:t=3或t=﹣1( 舍去),

当△OBC∽△FCE时,

解得:t=2或t=0(舍去).

∴t=3或2


【解析】(1)求出点C,D的坐标,得到OC=OD,即可解答;(2)如图1,作FG⊥x轴于点G,FH⊥y轴于点H,利用已知条件证明△FGA≌△FHC,得到FH=FG,HC=AG,设F(m,m)则2t﹣m=m﹣2,求出m的值,即可解答;(3)如图2,作ET⊥HF于T,分别得到E的横坐标是 ,CH=t﹣1,FT= ,再由△HCF∽△TFE,得到 ,即 ,分类讨论:当△OBC∽△FEC时;当△OBC∽△FCE时;求出t的值,即可解答.
【考点精析】利用全等三角形的性质对题目进行判断即可得到答案,需要熟知全等三角形的对应边相等; 全等三角形的对应角相等.

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①一次购买种子数量不超过l0千克时,销售价格为5元/千克;
②一次购买30千克种子时,付款金额为100元;
③一次购买10千克以上种子时,超过l0千克的那部分种子的价格打五折:
④一次购买40千克种子比分两次购买且每次购买20千克种子少花25元钱.
其中正确的个数是( ).

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B.2个
C.3个
D.4个

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B.一直减小
C.先增大后减小
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