Question

【题目】如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴分别交于点A（﹣3，0）和点B，与y轴交于点C（0，3），顶点为点D，对称轴DE交x轴于点E，连接AD，AC，DC．

（1）求抛物线的函数表达式．
（2）判断△ADC的形状，并说明理由．
（3）对称轴DE上是否存在点P，使点P到直线AD的距离与到x轴的距离相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵点A（﹣3，0），C（0，3）在抛物线y=﹣x2+bx+c的图象上，

∴ ，

∴ ，

∴抛物线解析式为y=﹣x2﹣2x+3

（2）

解：由（1）得抛物线解析式为y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，

∴抛物线的顶点D（﹣1，4），

∵C（0，3），A（﹣3，0），

∴AD=2 ，AC=3 ，CD= ，

∴AD2=AC2+CD2，

∴△ADC是直角三角形

（3）

解：存在，

理由：∵抛物线解析式为y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，

∴E（﹣1，0），

∵A（﹣3，0），D（﹣1，4），

∴AE=2，DE=4，AD=2 ，

在Rt△ADE中，sin∠ADE= = ，

设P（﹣1，p），

∵点P到直线AD的距离与到x轴的距离相等

①当点P在∠DAB的角平分线时，

如图1，

过点P作PM⊥AD，

∴PM=PD×sin∠ADE= （4﹣p），PE=p，

∵PM=PE，

∴ （4﹣p）=p，

∴p= ﹣1，

∴P（﹣1， ﹣1），

②当点P在∠DAB的外角的平分线时，

如图2，

过点P作PM⊥AD，

∴PM=PD×sin∠ADE= （4﹣p），PE=﹣p，

∴ （4﹣p）=﹣p，

∴p=﹣ ﹣1，

∴P（﹣1，﹣ ﹣1），

综上所述，存在点P到AD的距离与到x轴的距离相等，点P（﹣1， ﹣1）或（﹣1，﹣ ﹣1）

【解析】（1）用待定系数法求出抛物线解析式；（2）先确定出抛物线的顶点坐标，从而求出AD，AC，CD，用勾股定理的逆定理判断即可；（3）先求出∠ADE的正弦值，再分点P在∠DAB的平分线和∠DAB的外角的平分线两种情况用PM=PE建立方程求解即可．