Question

16．如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC，且∠EOC：∠EOD=2：3．
（1）求∠BOD的度数；
（2）如图2，点F在OC上，直线GH经过点F，FM平分∠OFG，且∠MFH-∠BOD=90°，求证：OE∥GH．

Answer 1

分析 （1）根据邻补角的定义求出∠EOC，再根据角平分线的定义求出∠AOC，然后根据对顶角相等解答．
（2）由已知条件和对顶角相等得出∠MFC=∠MFH=∠BOD+90°=126°，得出∠ONF=90°，求出∠OFM=54°，延长∠OFG=2∠OFM=108°，证出∠OFG+∠EOC=180°，即可得出结论．

解答 解：∵∠EOC：∠EOD=2：3，
∴∠EOC=180°×$\frac{2}{3+2}$=72°，
∵OA平分∠EOC，
∴∠AOC=$\frac{1}{2}$∠EOC=$\frac{1}{2}$×72°=36°，
∴∠BOD=∠AOC=36°．
（2）延长FM交AB于N，如图所示：
∵∠MFH-∠BOD=90°，FM平分∠OFG，
∴∠MFC=∠MFH=∠BOD+90°=126°，
∴∠ONF=126°-36°=90°，
∴∠OFM=90°-36°=54°，
∴∠OFG=2∠OFM=108°，
∴∠OFG+∠EOC=180°，
∴OE∥GH．

点评 本题考查了平行线的判定、角平分线定义、角的互余关系等知识；熟练掌握平行线的判定、角平分线定义是解决问题的关键，（2）有一定难度．