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    8．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，点D是线段AB上的一点，连接CD，过点B作BG⊥CD，分别交CD，CA于点E，F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连接DE给出以下四个结论：
    ①$\frac{AG}{AB}$=$\frac{AF}{FC}$；②若点D是AB的中点，则AF=$\frac{\sqrt{2}}{3}$AB；③当B、C、F、D四点在同一个圆上时，DF=DB；④若$\frac{DB}{AD}$=$\frac{1}{2}$，则S△ABC=9S△BDF，其中正确的结论序号是①②③．

    分析 首先根据题意易证得△AFG∽△CFB，根据相似三角形的对应边成比例与BA=BC，继而证得$\frac{AG}{AB}=\frac{FG}{FB}$得①正确；由点D是AB的中点，易证得$\frac{AF}{AC}=\frac{1}{3}$再根据AC=$\sqrt{2}$AB，得出②正确，先判断出CD为直径，再判断出BE=EF，即得到结论③正确，先判断出AF=

    1
    4
    AC，进而得出S△BDF=
    1
    12
    S△ABC，即S△ABC=12S△BDF，得出④错误．

    解答 解：∵∠ABC=90°，∠GAD=90°，
    ∴AG∥BC，
    ∴△AFG∽△CFB，
    ∴$\frac{AG}{AB}=\frac{FG}{FB}$，
    ∴①正确．
    ∵∠BCD+∠BEC=∠BEC+∠ABC=90°，
    ∴∠BCD=∠ABG，
    ∵AB=BC，
    ∴△CBD≌△BAG，
    ∴AG=BD，
    ∵BD=$\frac{1}{2}$AB，
    ∴$\frac{AG}{BC}=\frac{1}{2}$，
    ∴$\frac{AF}{FC}=\frac{1}{2}$，
    ∴$\frac{AF}{AC}=\frac{1}{3}$，
    ∵AC=$\sqrt{2}$AB，
    ∴AF=$\frac{\sqrt{2}}{3}$AB，
    ∴②正确；
    ∵B，C，F，D四点共圆，∠DBC=90°，
    ∴CD为直径，
    ∴∠CFD=90°，
    ∵BF⊥CD，
    ∴BE=EF，
    ∴BD=DE，
    ∴③正确；
    ∵AG∥BC，
    ∴

    AG
    AB
    =
    AF
    CF
    ，
    ∵AG=BD，
    BD
    AD
    =
    1
    2
    ，
    ∴
    BD
    AB
    =
    1
    3
    ，
    ∴
    AF
    CF
    =
    1
    3
    ，
    ∴AF=
    1
    4
    AC，
    ∴S△ABF=
    1
    4
    S△ABC；
    ∴S△BDF=
    1
    3
    S△ABF，
    ∴S△BDF=
    1
    12
    S△ABC，
    即S△ABC=12S△BDF
    ∴④错误．
    故答案为：①②③．

    点评 此题是相似三角形综合题，主要考查了相似三角形的性质和判定，比例的基本性质，同底的两三角形的面积比是高的比，解本题的关键是用比例的基本性质推导线段的比，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用

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    ．

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