Question

20．如图，已知抛物线$y=\frac{1}{4}{x^2}+bx+c$交y轴于点C（0，-3），与x轴交于点A，B（点A在点B右侧），且OA=2OC
（1）求该抛物线的表达式及顶点M坐标；
（2）在线段OA上的点D，满足S_△CMA=S_△DMA，求D点坐标；
（3）求sin∠MCA的值．

Answer 1

分析 （1）已知C的坐标，则OC即可求得，根据OA=2OC即可气度而OA的长，得到A的坐标，然后把A和C的坐标代入解析式求得b和c的值，求得函数解析式，再利用配方法求得顶点坐标；
（2）根据S_△CMA=S_△DMA，可得CD∥AM，首先求得AM的解析式，则CD的解析式即可求得，则D的坐标即可得到；
（3）过M作AC的垂线，垂足为H，根据三角函数的定义即可求得．

解答 解：（1）∵抛物线$y=\frac{1}{4}{x^2}+bx+c$交y轴于点C（0，-3），与x轴交于点A，B
（点A在点B右侧），且OA=2OC．
∴A（6，0），
将A，C坐标代入得：c=-3，9+6b+c=0，
可得：b=-1，解析式为$y=\frac{1}{4}{x^2}-x-3$．
顶点M（2，-4）；

（2）D为线段OA上一点，且S_△CMA=S_△DMA
过点C，D分别作AM的垂线，垂足为E，F．
∵${S_{△CMA}}=\frac{1}{2}AM×CE，{S_{△DMA}}=\frac{1}{2}AM×DF$，
∴DF=CE，又D，C在AM同侧，
∴CD∥AM，
设直线AM的解析式是y=kx+b，
则$\left\{\begin{array}{l}{6k+b=0}\\{2k+b=-4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-6}\end{array}\right.$，
则AM的解析式是：y=x-6，
设CD的解析式是y=x+d，
把（0，-3）代入得d=-3．
则CD的解析式是：y=x-3，
令y=0，则x=3，则D的坐标是（3，0）；

（3）过M作AC的垂线，垂足为H，如图（2）．
由上题结论，易知S_△CMA=S_△DMA=6，
又AC=$3\sqrt{5}$，
则MH=$\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$，
又CM=$\sqrt{5}$，
∴sin∠MCA=$\frac{4}{5}$．

点评 本题考查了待定系数法求函数解析式，以及三角函数的定义，正确根据S_△CMA=S_△DMA，得到CD∥AM是解决本题的关键．