Question

9．如图，已知正方形ABCD的顶点A、B在⊙O上，顶点C、D在⊙O内，将正方形ABCD绕点逆时针旋转，使点D落在⊙O上．若正方形ABCD的边长和⊙O的半径均为6cm，则点D运动的路径长为πcm．

Answer 1

分析 设圆心为O，连接AO，BO，AC，AE，易证三角形AOB是等边三角形，确定∠EAC=30°，再利用弧长公式计算即可．

解答 解：设圆心为O，连接AO，BO，AC，AE，OF，
∵AB=6，AO=BO=6，
∴AB=AO=BO，
∴三角形AOB是等边三角形，
∴∠AOB=∠OAB=60°
同理：△FAO是等边三角形，∠FAB=2∠OAB=120°，
∴∠EAC=120°-90°=30，
∵AD=AB=6，
∴点D运动的路径长为：$\frac{30×π×6}{180}$=π．
故答案为：π．

点评 本题考查了正方形的性质、旋转的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理的运用以及弧长公式的运用，题目的综合性较强，解题的关键是正确的求出旋转角的度数．