【题目】直角△ABC中,∠C=90°,点D,E分别是边AC,BC上的点,点P是一动点.令∠PDA=∠1,∠PEB=∠2,∠DPE=∠α.
(1)若点P在线段AB上,如图①,且∠α=50°,则∠1+∠2= ;
(2)若点P在斜边AB上运动,如图②,则∠α、∠1、∠2之间的关系为 ;
(3)如图③,若点P在斜边BA的延长线上运动(CE<CD),请直接写出∠α、∠1、∠2之间的关系: ;
(4)若点P运动到△ABC形外(只需研究图④情形),则∠α、∠1、∠2之间有何关系?并说明理由.
【答案】(1)140°(2)∠1+∠2=90°+∠α(3)∠2﹣∠1=90°+∠α;∠2=∠1+90°;∠1﹣∠2=∠α﹣90°(4)∠2=90°+∠1﹣α,理由见解析
【解析】试题分析:(1)连接PC,根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠1=∠PCD+∠CPD,∠2=∠PCE+∠CPE,再表示出∠1+∠2即可;
(2)利用(1)中所求得出答案即可;
(3)利用三角外角的性质分三种情况讨论即可;
(4)利用三角形内角和定理以及邻补角的性质可得出.
解:(1)如图,连接PC,
∵∠1=∠PCD+∠CPD,∠2=∠PCE+∠CPE,
∴∠1+∠2=∠PCD+∠CPD+∠PCE+∠CPE=∠DPE+∠C,
∵∠DPE=∠α=50°,∠C=90°,
∴∠1+∠2=50°+90°=140°,
故答案为:140°;
(2)连接PC,
∵∠1=∠PCD+∠CPD,∠2=∠PCE+∠CPE,
∴∠1+∠2=∠PCD+∠CPD+∠PCE+∠CPE=∠DPE+∠C,
∵∠C=90°,∠DPE=∠α,
∴∠1+∠2=90°+∠α;
故答案为:∠1+∠2=90°+∠α;
(3)如图1,
∵∠2=∠C+∠1+∠α,
∴∠2﹣∠1=90°+∠α;
如图2,∠α=0°,∠2=∠1+90°;
如图3,∵∠2=∠1﹣∠α+∠C,
∴∠1﹣∠2=∠α﹣90°.
故答案为;∠2﹣∠1=90°+∠α;∠2=∠1+90°;∠1﹣∠2=∠α﹣90°.
(4)
∵∠PFD=∠EFC,
∴180°﹣∠PFD=180°﹣∠EFC,
∴∠α+180°﹣∠1=∠C+180°﹣∠2,
∴∠2=90°+∠1﹣α.
故答案为:∠2=90°+∠1﹣α.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线(m<0)与x轴交于点A、B(点A在点B的左侧),该抛物线的对称轴与直线
相交于点E,与x轴相交于点D,点P在直线
上(不与原点重合),连接PD,过点P作PF⊥PD交y轴于点F,连接DF.
(1)如图①所示,若抛物线顶点的纵坐标为,求抛物线的解析式;
(2)求A、B两点的坐标;
(3)如图②所示,小红在探究点P的位置发现:当点P与点E重合时,∠PDF的大小为定值,进而猜想:对于直线上任意一点P(不与原点重合),∠PDF的大小为定值.请你判断该猜想是否正确,并说明理由.
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【题目】如图,在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90°,D为AB延长线上一点,点E在BC边上,且BE=BD,连结AE、DE、DC.
①求证:△ABE≌△CBD;
②若∠CAE=30°,求∠BDC的度数.
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【题目】在平面直角坐标系中,△ABC上有一点P(0,2),将△ABC向左平移2个单位长度,再向上平移3个单位长度,得到的新三角形上与点P相对应的点的坐标是_____.
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【题目】一列快车从甲地匀速驶往乙地,一列慢车从乙地匀速驶往甲地.设先发车辆行驶的时间为x h,两车之间的距离为y km,图中的折线表示y与x之间的函数关系.根据图象解决以下问题:
(1)慢车的速度为 km/h,快车的速度为 km/h;
(2)解释图中点D的实际意义并求出点D的坐标;
(3)求当x为多少时,两车之间的距离为300km.
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【题目】在平面直角坐标系中,已知点E(-4,2),F(-2,-2),以原点O为位似中心,相似比为2,把△EFO放大,则点E的对应点E′的坐标是_____.
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【题目】如图,直角三角形ABO放置在平面直角坐标系中,已知斜边OA在x轴正半轴上,且OA=4,AB=2,将该三角形绕着点O逆时针旋转120°后点B的对应点恰好落在一反比例函数图象上,则该反比例函数的解析式为 .
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