Question

6．一次函数y=ax+2（a≠0）的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，双曲线y=$\frac{k}{x}$经过点，记OM=d．
（1）点M是线段AB（不与A，B重合）上的动点：
①当a=-2，k=$\frac{1}{2}$时，求点M的坐标；
②当a=-3时，设点M的横坐标为m，求k与m之间的函数关系式，并求k取得最大值时，点M的坐标；
（2）根据第（1）小题的研究规律，当直线y=ax+2（a≠0）与双曲线y=$\frac{k}{x}$有唯一公共点M，且d=$\frac{5}{4}$时，求a的值；
（3）将Rt△AOB在第一象限内沿直线y=x平移$\sqrt{2}$个单位得到Rt△A′0′B′，如图②，点M是Rt△A′0′B′斜边上一动点，若a=-2时，则k的最大值与最小值之差为1．

Answer 1

分析 （1）①首先利用a=-2，k=$\frac{1}{2}$得出两个函数的解析式，利用函数图象与解析式的关系，点在函数图象上，满足解析式，求出交点坐标即可；
②把a=-3代入一次函数y=ax+2，与反比例函数组成方程组，用m表示k，利用二次函数求最值；
（2）根据第（1）小题的研究规律，得k=-$\frac{1}{a}$，利用勾股定理解得a的取值；
（3）当a=-2时，y=-2x+2，得点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，2），根据平移规律得A′（2，1），B′（1，3），在函数图象上的点满足解析式，解得k．

解答 解：（1）①当a=-2，k=$\frac{1}{2}$时，y=-2x+2，y=$\frac{1}{2x}$，
点M满足方程组：
$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x+2}\\{y=\frac{1}{2x}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}}\\{y=1}\end{array}\right.$，
∴点M的坐标为：（$\frac{1}{2}$，1）；
②当a=-3时，y=-3x+2，
∵点M的横坐标为m，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=-3m+2}\\{y=\frac{k}{m}}\end{array}\right.$，
∴k=-3m²+2m，
∵-3＜0，
∴当m=-$\frac{2}{2×（-3）}$=$\frac{1}{3}$时，k有最大值，
∴y=-3×$\frac{1}{3}$=-1，
∴点M的坐标为（$\frac{1}{3}$，1）；

（2）根据第（1）小题的研究规律，当直线y=ax+2（a≠0）与双曲线y=$\frac{k}{x}$有唯一公共点M时，k=-$\frac{1}{a}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=ax+2}\\{y=-\frac{1}{ax}}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{1}{a}}\\{y=1}\end{array}\right.$，
∴${（-\frac{1}{a}）}^{2}$+1²=${（\frac{5}{4}）}^{2}$，解得：a=$±\frac{4}{3}$；

（3）当a=-2时，y=-2x+2，
∴点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，2），
∵将Rt△AOB在第一象限内沿直线y=x平移$\sqrt{2}$个单位得到Rt△A′O′B′，
∴A′（2，1），B′（1，3），
点M是Rt△A′0′B′斜边上一动点，
当点M′与A′重合时，k=2，
当点M′与B′重合时，k=3，
∴k的最大值与最小值之差为，3-2=1，
故答案为：1．

点评 本题考查了反比例函数的图象和性质、待定系数法求解析式等，利用图象解决问题，从图上获取有用的信息，是解题的关键所在．