Question

在平面直角坐标系xOy中，如图，已知点A（0，2），B（2，0），C（1，0）
（1）若点P（x，y）是线段AB上的动点，求△OPB的面积S，用含x的代数式表示．
（2）若D（1，m），当△ACD为等腰三角形时，求点D的坐标．
（3）若D（1，m），当△ACD为直角三角形时，求点D的坐标．

Answer 1

考点：一次函数图象上点的坐标特征

专题：计算题

分析：（1）先利用待定系数法求出直线AB的解析式为y=-x+2，然后根据三角形面积公式可得S=y=-x+2（0≤x＜2）；
（2）根据勾股定理计算出AC=

5

，然后分类讨论：当CA=CD时，|m|=

5

；当AD=AC时，

12+(m-2)2

=

5

；当DA=DC时，1²+（m-2）²=m²，然后分别解方程求出m，从而得到D点坐标；
（3）分类讨论：当∠ADC=90°时，AD∥x轴，易得点D的坐标为（1，2）；当∠CAD=90°时，利用勾股定理得到1²+（m-2）²+5=m²，解得m=

5

2

，于是可得D点坐标为（1，

5

2

）．

解答：解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，
把A（0，2）），B（2，0）分别代入得

b=2 2k+b=0

，解得

k=-1 b=2

，
所以直线AB的解析式为y=-x+2，
所以S=

1

2

×2×y=y=-x+2（0≤x＜2）；
（2）AC=

22+12

=

5

，
当CA=CD时，|m|=

5

，解得m=

5

或-

5

，此时D点坐标为（1，

5

）或（1，-

5

），

当AD=AC时，

12+(m-2)2

=

5

，解得m=0（舍去）或m=4，此时D点坐标为（1，4）；
当DA=DC时，1²+（m-2）²=m²，解得m=

5

4

，此时D点坐标为（1，

5

4

），
综上所述，D点坐标为（1，

5

）或（1，-

5

）或（1，4）或（1，

5

4

），
（3）当∠ADC=90°时，AD∥x轴，则点D的坐标为（1，2）；
当∠CAD=90°时，则AD²+AC²=CD²，即1²+（m-2）²+5=m²，解得m=

5

2

，此时D点坐标为（1，

5

2

），
综上所述，D点坐标为（1，2）或（1，

5

2

）．

点评：本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数y=kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（-

b

k

，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．
直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b．特考查了两点之间的距离公式和分类讨论的思想．