Question

20．如图，四边形ABCD是平行四边形，点P为AD边上一动点，连结CP并延长交BA的延长线于点M，过M作MN⊥BC，垂足是N，连结AN，NP，设点P运动时间为t（s），解答下列问题：

（1）若AD=6cm，CD=2cm，∠B=45°，点P从点A出发沿AD方向运动，速度为3cm/s，当t为何值时，四边形ACDM是平行四边形？
（2）在（1）的条件下，是否存在某一时刻t，使四边形ANPM是平行四边形？若存在，求出相应的t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）连结AQ、MD，根据平行四边形的对角线互相平分得出AP=DP，代入求出即可；
（2）根据已知条件得出BN=MN，再根据BM=AB+AM，由边形ABCD是平行四边形，AP∥BC，当四边形ANPM是平行四边形时，得到PN∥AM，PN=AM，于是证得PN∥AB，又因为AP∥BN，得到四边形ABNP是平行四边形，PN=AB=2，BN=AP=3t，由勾股定理得出BN=MN=3t，由勾股定理得出结果．

解答 解：（1）如图1（1）连结AC、MD，
∵当AP=PD时，四边形ACDM是平行四边形，
∴3t=6-3t，
解得：t=1，
∴t=1s时，四边形ACDM是平行四边形；

（2）如图2∵MN⊥BC，
∴∠MNB=90°，
∵∠B=45°，
∴∠BMN=45°=∠B，
∴BN=MN，
∵BM=AB+AM，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AP∥BC，
当四边形ANPM是平行四边形时，
PN∥AM，PN=AM，
∴PN∥AB，∵AP∥BN，
∴四边形ABNP是平行四边形，
∴PN=AB=2，BN=AP=3t，
∴AM=2，BM=3$\sqrt{2}$t，
∴$3\sqrt{2}t$=4，解得t=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
当t=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$s时，四边形ABNP是平行四边形．
若四边形ANPM是平行四边形，
则PN∥AM，PN=AN=CD，
∴AM平行且等于CD，
∴点P又为AD的中点，
∴3t=3，
∴t=1，
与当t=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$s时，四边形ABNP是平行四边形相矛盾，
∴四边形ANPM不是平行四边形．

点评 本题考查了平行四边形的性质、解直角三角形、勾股定理的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，是一道综合性较强的题，有一定难度．