Question

已知如图，抛物线t=ax²+bx+c与x轴相交于B（1，0）、C（4，0）两点，与y轴的正半轴相交于A点，过A、B、C三点的⊙P与y轴相切于点A，M为y轴负半轴上的一个动点，直线MB交抛物线于N，交⊙P于D．
（1）填空：A点坐标是______，⊙P半径的长是______，a=______，b=______，c=______；
（2）若S_△BNC：S_△AOB=15：2，求N点的坐标；
（3）若△AOB与以A、B、D为顶点的三角形相似，求MB•MD的值．

Answer 1

解：（1）将B（1，0）、C（4，0）两点坐标代入抛物线t=ax²+bx+c得：

解得 ①
由题意可知：PA=PB=PC，且PA⊥y轴，
设P点坐标为P（2.5，y_A ），由题意可知PA=PB=PC=2.5，
根据勾股定理可求得y_A=2，
∴A点坐标是（0，2），⊙P半径为的长为2.5，
将A点坐标代入抛物线方程可得2=c，
联立①式便可解得a=0.5，b=-2.5，c=2．
∴抛物线的方程为t=0.5x²-2.5x+2，
故答案为：（0，2），2.5，0.5，-2.5，2；

（2）S_△BNC：S_△AOB===，
解得y_N=5，
将y_N=5代入抛物线的方程t=0.5x²-2.5x+2得：x₁=-1，x₂=6，
观察图形可知x₂=6符合题意，
∴N点的坐标为N（6，5）；

（3）由题意可知△AOB∽△DBA，，
∵OA=2，OB=1，
由勾股定理可知AB=，根据三角形相似可知BD=2，
由射影定理可知：AB²=MB×BD，
，
解得MB=，MD=MB+BD=，
∴MB•MD=×=．
分析：（1）先将B、C两点坐标代入抛物线方程，再根据题意求得⊙P半径，进而求得抛物线方程；
（2）根据S_△BNC：S_△AOB=15：2求出N点的y坐标，将y_N代入抛物线方程即可求得N点坐标；
（3）根据三角形相似的性质和射影定理便可求得MB•MD的值．
点评：本题是二次函数的综合题，其中涉及到的知识点有抛物线的公式的求法和三角形的相似的性质和射影定理等知识点，是各地中考的热点和难点，同学们要加强训练，属于中档题．