Question

8．如图，矩形ABCD顶点在y=$\frac{1}{x}$上，且S_矩形ABCD=2$\sqrt{5}$，则A的坐标x_A=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，y_A=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

Answer 1

分析 由题意可知A，B两点关于原点对称，从而得到点B的坐标，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得S_△APB=3，根据两点间的距离公式可得AB的长度，进而得到点P到直线AB的距离，设出点P的坐标，根据点到直线的距离公式即可求得点P的坐标．

解答 解：设A（x，$\frac{1}{x}$），
根据题意C（-x，-$\frac{1}{x}$），D（$\frac{1}{x}$，x），
∵S_矩形ABCD=2$\sqrt{5}$，
∴AD•CD=2$\sqrt{5}$，
∴${\sqrt{（x-\frac{1}{x}）^{2}+（\frac{1}{x}-x）}}^{2}$•$\sqrt{（\frac{1}{x}+x）^{2}+（x+\frac{1}{x}）^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴$\sqrt{2}$（x-$\frac{1}{x}$）•$\sqrt{2}$（x+$\frac{1}{x}$）=2$\sqrt{5}$，
解得：x²=$\frac{\sqrt{5}+3}{2}$或x²=$\frac{\sqrt{5}-3}{2}$（不合题意舍去），
∴x₁=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，x₂=$\frac{-\sqrt{5}-1}{2}$，
∴$\frac{1}{{x}_{1}}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，$\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
∵点A在第一象限，
∴x_A=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，y_A=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数与正比例函数的交点关于原点对称；反比例函数的比例系数等于在它上面的点的横纵坐标的积，三角形面积公式以及点到直线的距离公式等知识点．