Question

14．如图，已知抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A、B两点，AB=4，P是抛物线上一点，它的横坐标为-2，∠PAO=45°，cot∠PBO=$\frac{7}{3}$，求：
（1）P，A，B点的坐标；
（2）抛物线的表达式；
（3）在抛物线上求一点Q，使S_△QAB=2S_△PAB．

Answer 1

分析 （1）作PC⊥x轴于C，根据等腰三角形的判定得到PC=AC，根据正切的定义求出PC，得到P、A、B点的坐标；
（2）利用待定系数法求出二次函数的解析式；
（3）设Q的纵坐标为m，根据已知条件列方程得到m=±6，由于抛物线的顶点的坐标的纵坐标为-$\frac{1}{56}$，得到m=-6（不合题意，舍去），当m=6时，解方程即可得到结论．

解答 解：（1）作PC⊥x轴于C，
∵∠PAO=45°，
∴PC=AC，
由cot∠PBO=$\frac{7}{3}$得，$\frac{BC}{PC}$=$\frac{7}{3}$，即$\frac{4+AC}{PC}$=$\frac{7}{3}$，
解得，PC=AC=3，
∵点P的横坐标为-2，AB=4，
∴OA=1，OB=5，
则点P的坐标为（-2，3）、点A的坐标为（1，0）、B点的坐标为（5，0）；
（2）由题意得，$\left\{\begin{array}{l}{4a-2b+c=3}\\{a+b+c=0}\\{25a+5b+c=0}\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{2}{7}}\\{b=-\frac{5}{7}}\\{c=\frac{3}{7}}\end{array}\right.$，
则抛物线的表达式为y=$\frac{2}{7}$x²-$\frac{5}{7}$x+$\frac{3}{7}$；
（3）设Q的纵坐标为m，
∵S_△QAB=2S_△PAB．
∴$\frac{1}{2}$×4×|m|=2×$\frac{1}{2}$×4×3，
∴m=±6，
∵抛物线的顶点的坐标的纵坐标为-$\frac{1}{56}$，
∴m=-6（不合题意，舍去），
当m=6时，即$\frac{2}{7}$x²-$\frac{5}{7}$x+$\frac{3}{7}$=6，
解得：x=$\frac{5±\sqrt{337}}{4}$，
∴Q（$\frac{5+\sqrt{337}}{4}$，6），或（$\frac{5-\sqrt{337}}{4}$，6）．

点评 本题考查的是抛物线与x轴的交点、解直角三角形、待定系数法求函数解析式，掌握锐角三角函数的定义、灵活运用待定系数法求出二次函数的解析式是解题的关键．