Question

已知：如图，△ABC中，AC=BC，CD⊥AC交AB于点D，点O在BC上，⊙O经过B、D两点，且与BC交于点E．
（1）试判断CD与⊙O的位置关系，并加以证明；
（2）若AC=16，

CE

CD

=

1

2

，求⊙O的半径．

Answer 1

分析：（1）连接OD，由等腰三角形的性质得出∠ODB=∠A，由平行线的判定定理得出OD∥AC，再根据CD⊥AC，可得出AC⊥OD，进而可得出结论；
（2）由

CE

CD

=

1

2

，设CE=x，CD=2x，由AC=16可用x表示出BE及OD的值，再在△ODE中利用勾股定理即可求出x的值．

解答：（1）CD为⊙O的切线（1分）
证明：连接OD，
∵OB=OD，
∴∠B=∠ODB，
∵AC=BC，
∴∠B=∠A，
∴∠ODB=∠A，
∴OD∥AC，
∴∠ODC=∠DCA，
∵CD⊥AC，
∴∠DCA=90°，
∴∠ODC=90°，
∴AC⊥OD，（2分）
∴CD是⊙O的切线；（3分）

（2）∵

CE

CD

=

1

2

，
∴设CE=x，CD=2x，
∵AC=16，
∴BE=BC-CE=16-x，
∵BE为⊙O的直径，
∴OD=OE=8-

1

2

x，
∴OC=8+

1

2

x，（4分）
∵OC²-OD²=CD²，
∴（8+

1

2

x）²-（8-

1

2

x）²=4x²，
∴x=4，x=0，（舍去）
∴OD=6．（5分）

点评：本题考查的是切线的判定与性质、勾股定理、圆周角定理及等腰三角形的性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．