Question

12．如图，⊙O是以原点为圆心，$\sqrt{2}$为半径的圆，点P是直线y=-x+6上的一点，过点P 作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则△OPQ面积的最小值为2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由P在直线y=-x+6上，设P（m，6-m），连接OQ，OP，由PQ为圆O的切线，得到PQ⊥OQ，在直角三角形OPQ中，利勾股定理列出关系式，配方后利用二次函数的性质即可求出PQ的最小值．

解答 解：∵P在直线y=-x+6上，
∴设P坐标为（m，6-m），
连接OQ，OP，由PQ为圆O的切线，得到PQ⊥OQ，
在Rt△OPQ中，根据勾股定理得：OP²=PQ²+OQ²，
∴PQ²=m²+（6-m）²-2=2m²-12m+34=2（m-3）²+16，
则当m=3时，切线长PQ的最小值为4．
则△OPQ面积的最小值为$\frac{1}{2}$×4×$\sqrt{2}$=2$\sqrt{2}$
故答案为：2$\sqrt{2}$．

点评 此题考查了一次函数综合题，涉及的知识有：切线的性质，勾股定理，配方法的应用，以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．